资源描述：
《正项级数的审敛法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第二节正项级数的审敛法教学目的:弄清正项级数的定义；熟练掌握正项级数敛散性的常用判别法，灵活运用判别法判断所给级数的敛散性.重难点:灵活运用判别法判断所给级数的敛散性.教学方法:启发式讲授与指导练习相结合.教学过程:一、正项级数及其审敛法1.正项级数：若级数的各项,则称级数为正项级数.2.【定理1】(基本定理):正项级数收敛有界.且此时说明：因,于是,可见单调递增.故收敛收敛有界.此时显然有.（注意：单调有界数列收敛）3.【定理2】(比较判别法):设与均为正项级数,且,,则(1)收敛收敛;(2)发散发散.证明:由条件知,,那么(1)收敛有界有界收
2、敛;(2)发散无界无界发散.20另证：若收敛，由（1）证明知必收敛，此与题设发散矛盾，所以假设不成立，即发散.4.【推论】(1)若级数收敛且存在,时恒有:,(为常数),则级数收敛.（2）若级数发散且存在,时恒有:,(为常数),则级数发散.例1讨论级数的敛散性.解:①若由于级数发散.②若由所以,那么,可见有界级数收敛.综上知：级数收敛.（此结论当定理使用）[由级数得结论]：设为正项级数,那么20①若,且,,则收敛;②若,,则发散.例2(1)证明级数是发散的.证明:.(2)证明级数是发散的.证明：因为，且故级数是发散的.例3（1）讨论级数的敛散性.解
3、：，而级数为收敛的级数所以级数收敛.（2）讨论级数的敛散性.20解：，而级数是收敛的几何级数所以级数收敛.(3)判断级数的敛散性.解令为正项级数.又级数为收敛的P－级数，所以收敛，由比较判别法知故级数收敛.（4）讨论级数的敛散性.提示：收敛正项级数收敛.（5）判别级数的敛散性.且收敛.20例4设.（1）求的值.（2）证明当（常数）时，级数收敛.（1）解所以（2）证明因为，且时，收敛，故原级数收敛.练习：用比较判别法确定下列级数的敛散性:(1)解 该级数为,由,且发散,知原级发散.(2)解该级数为,由,且收敛,知原级数收敛.(3)解由于,20这是一
4、个公比为的几何级数,因而是收敛的,由比较判别法可知原级数收敛.(4)（由函数单调性知所以函数单调递增，时）解因为,所以,而调和级数发散,由比较判别法可知原级数发散.(5)解由于,是一个公比为的收敛几何级数，所以由比较判别法可知原级数收敛.(6)解由,收敛,知原级数收敛.例5讨论级数的敛散性.解：1）时由且收敛可得原级数收敛.2）时由且发散可得原级数发散.3）时由且发散可得原级数发散.结论：当通项较容易通过不等式的放缩而找到已知敛散性的级数的通项20时，可以选择比较判别法.利用比较判别法需要对调和级数、几何级数、P－级数的敛散性非常熟悉.5．【定理
5、3】(比较判别法的极限形式):设与均为正项级数,若，则(1)当时,若收敛,则也收敛；(2)当时,若发散,则也发散.（3）)当时,若与有相同的敛散性.结论的另一种叙述方法：(1)当时,与有相同的敛散性；(2)当时,若收敛,则也收敛；(3)当时,若发散,则也发散.证明:(1)由,当时，,或,,若收敛,则也收敛；(2)因为,，故，,20若收敛,则也收敛,可见,若发散,则必发散.补充结论证明提示（1）当时,由得对时由正项级数的比较判别法得若收敛,且，则收敛.若收敛，且，则收敛；故原结论成立.（2）当时,由比较判别法得结论成立.（3）当时,由无穷大的概念知
6、收敛由正项级数的比较判别法得收敛，故结论成立.【推论】(极限法):设为正项级数,且,(1)当,时,级数收敛;(2)当,时,级数发散.（证明方法：设为正项级数,其中，利用比较判别法去证）注意：利用比较的极限形式时常需用到极限的等价无穷小概念，时20例6（1）判别级数的敛散性.解:级数发散.（2）：发散，可推出原级数发散.（3）判别级数的敛散性.解:,且是收敛的级数（）级数收敛..（4）讨论级数的敛散性.解：令，则且发散正项级数发散.(5)判别级数的敛散性.20解：时，且收敛收敛.（6）：，，收敛，推出收敛.(7):提示令，，发散原级数发散.例7判定
7、级数的敛散性.解（1）当时，发散.（2）当时，令，收敛（），所以原级数收敛.另证：令,收敛（），所以原级数收敛.（3）当时，令，收敛（），所以原级数收敛.20另证：令,收敛（），所以原级数收敛.综上所述时发散，时收敛.【结论】：当时，级数的通项能与常用的等价无穷小挂钩，此时考虑用比较判别法的极限形式进行判定.但必须给出通项比值的极限（与无穷大比较）以及已知级数的敛散性.6．【定理4】(比值判别法,达朗贝尔判别法):设为正项级数,若,则(1)时,级数收敛；(2)或时,级数发散；(3)时,级数可能收敛也可能发散.证明:(1)时,对,由于收敛,故收敛.
8、级数收敛.20(2)时,对,可见级数发散.(2)’时,,或同样级数发散.(3)时,级数可能收敛也可能发散.例如:级数发散,而级数收敛.注
