正项级数及其审敛法(III)

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1、二、比较审敛法三、比值审敛法和根值审敛法第二节一、正项级数收敛的充分必要条件正项级数及其审敛法第十一章一、正项级数收敛的充分必要条件正项级数收敛的充要条件是:部分和数列有上界.设收敛,有上界,故又知故有界.正项级数：单调递增,收敛,也收敛.证1.定义2.定理11.1()()问题：正项级数收敛的条件?二、比较审敛法1.引例例1判定正项级数的敛散性.分析：欲寻找能控制该级数部分和Sn的新收敛级数解由于部分和收敛.定理11.2(比较审敛法)(1)若则(2)若则证收敛,也收敛;发散,也发散.设正项级数部分和满足：收敛.收敛,矛盾!由(1)(1)有

2、限项不影响级数的敛散性同敛散.推论(比较审敛法)(ⅰ)若则(ⅱ)若则收敛,也收敛;发散,也发散.设正项级数比较法的使用思路：欲证收敛(发散)，则放大(缩小)例2解例3讨论p-级数(常数p>0).解发散.而发散,敛散猜：分析：?大的敛散性p-级数部分和Sn有上界，p-级数收敛.结论p-级数：收敛，注调和级数与p-级数.常用的比较级数:等比级数,发散.例4解定理11.3(极限形式的比较审敛法)则有两级数同敛散;(2)当l=0(3)当l=+∞设正项级数满足(1)当0

3、由定理11.2知,发散时(2)l=0情形,请自证;极限形式的比较审敛法使用思路：寻找un的同阶无穷小例5解分析寻找的同阶无穷小.例6解分析寻找的等价无穷小.3n起主要作用例7解三、比值审敛法和根值审敛法设正项级数则(1)当(2)当时,级数收敛;或时,级数发散.1.比值审敛法定理11.4(达朗贝尔审敛法)(3)当时,比值审敛法失效.证(1)由比较法，因此所以级数发散.(2)当从而级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数但级数收敛;级数发散.例8解小结：通项含n!的级数，适合用比值法判敛散.解例9例10解小结:通项含an的级数，适合用比值法判敛散

4、.2.根值审敛法为正项级数,且则如p–级数级数收敛;级数发散.定理11.5(柯西审敛法)证明与比值法类似(3)当时,根值审敛法失效.例11解(方法1)根值法(方法2)比较法故比值法失效.注内容小结1.判断正项级数敛散性的一般程序：否是或不能肯定比值法根值法（可判）比值法根值法（可判）比值法、根值法失效！部分和极限法比较审敛法或2.级数发散与一般项极限不为零的关系，则用比值法和根值法判断的结论一致；备用题例2-1解例8-1讨论的敛散性.解由定理11.4，级数收敛;级数发散;解例8-2解例10-1故原级数发散.(方法1)比较法解例11-1(方法3

5、)根值法小结:通项含an的级数，适合用根值法判敛散.(方法2)利用性质注