正项级数及其审敛法(IV)

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1、Interrogateofpositivetermseries微积分电子教案安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics1959三、比值审敛法二、比较审敛法四、根值审敛法一、正项级数的定义与收敛准则§11.2正项级数及其审敛法2.2、比较法的极限形式定理：设与都是正项级数,且⑴若,则与有相同的敛散性;⑵若l=0,且收敛,则也收敛；，且发散，则也发散。⑶若(在这个判别法中,未知的,已知的)二、比较审敛法解⑴原级数发散.故原级数收敛.例7判定下列级数的敛散性:二、比较审敛法解⑴原级数发散.故原级数收敛.例8判定下列

2、级数的敛散性:二、比较审敛法二、比较审敛法例.判别下列级数的敛散性：先猜敛散性,再找已知敛散性的级数,最后下结论1)收，2)收，3)发。例9判别下列级数的敛散性解：1)所以发散.又因发散，二、比较审敛法它在收敛和发散级数之间例9判别下列级数的敛散性解：2)找比较，因为二、比较审敛法因为所以又因收敛，所以也收敛例9判别下列级数的敛散性解：3)二、比较审敛法例10.若则正项级数发散证明：因为又发散，由比较判别法知发散例11.证明:若正项级数收敛，则收敛但反之不真（举例说明）证：因为收敛，所以又，由比较判别法得收敛例如：二、比较审敛法则(1)<1,级数收敛

3、；(2)1<+,级数发散；(3)=1,此法失效.*比值判别法也称为达朗贝尔判别法三、比值审敛法定理比值判别法的适用范围：解：例1★三、比值审敛法解：例1三、比值审敛法例2解：三、比值审敛法★例3.解：此时原级数收敛此时原级数发散原级数为发散综上当01,级数发散；r=1,此法失效.四、根值审敛法*根值判别法也称为柯西判别法根值判别法的适用范围：例4.解：故原级数收敛例5解：k=1时原级数为级数发散四、根值审敛法一、任意项级数的定义Interrogateofany

4、termseries微积分电子教案安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics1959§11.3任意项级数的绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛二、交错级数敛散性判别法所谓任意项级数，是指级数中的每一项都是任意实数.一、任意项级数的定义例如：任意项级数敛散性的确定比较困难，我们先研究一种特殊的任意项级数：交错级数形如的级数称为交错级数其特点在于：级数的各项正、负相间.例1.指出下列级数中的交错级数：2.1、交错级数的定义二、交错级数敛散性判别法定理二、交错级数敛散性判别法2.2、交错级数判别法(莱布尼兹判别法)(

5、1)(2)则该交错级数收敛，且其和若交错级数满足:证明：(1)(2)二、交错级数敛散性判别法证明：故原级数收敛。定理(1)(2)则该交错级数收敛，且其和若交错级数满足:2.2、交错级数判别法(莱布尼兹判别法)二、交错级数敛散性判别法思考：若条件⑴不满足,交错级数敛散性如何？若条件⑵不满足,交错级数敛散性如何？发散不定定理(1)(2)则该交错级数收敛，且其和若交错级数满足:2.2、交错级数判别法(莱布尼兹判别法)二、交错级数敛散性判别法例2判别下列级数的敛散性解:⑴显然⑵因为由级数收敛的必要条件知原级数发散.二、交错级数敛散性判别法例3判别下列级数的敛散

6、性解:⑴⑵证明：由莱布尼兹判别法知：原级数收敛.二、交错级数敛散性判别法例4二、交错级数敛散性判别法例5.证明收敛证由可知又当x>e时,从而当n>2时,有f(n)>f(n+1),即由莱布尼兹判别法可知：收敛条件(1),(2)均不好检验对交错级数使用莱布尼茨判别法时，可以借助可导函数的单调性判断级数前后项大小和求极限。解:该级数为交错级数由莱布尼兹判别法知：原级数收敛.二、交错级数敛散性判别法例6即作业：习题11-2（P451）1(6,7);2(1,2,4);4