正项级数及其审敛法(II)

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1、第二节正项项级数的审敛法机动目录上页下页返回结束第十一章引言对级数当然希望求得和,首先判断是否收敛,看通项是否趋于零,求出部分和.部分和不好求.基本且重要的情形:正项级数.后面的其它情形的敛散性归结为正项级数的敛散性.一、正项级数及其审敛法若定理1.正项级数收敛部分和序列有界.若收敛,∴部分和数列有界,故从而又已知故有界.则称为正项级数.单调递增,收敛,也收敛.证:“”“”机动目录上页下页返回结束都有定理2(比较审敛法)设且存在对一切有(1)若强级数则弱级数(2)若弱级数则强级数证:设对一切则有收敛,也收敛;发散,也发散.分别表示弱级数和强级数的部分和,则有是两个正项级数,(常数k>0),因

2、在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨机动目录上页下页返回结束(1)若强级数则有因此对一切有由定理1可知,则有(2)若弱级数因此这说明强级数也发散.也收敛.发散,收敛,弱级数机动目录上页下页返回结束例2.讨论p级数(常数p>0)的敛散性.解:1)若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知p级数发散.发散,机动目录上页下页返回结束因为当故考虑强级数的部分和故强级数收敛,由比较审敛法知p级数收敛.时,2)若机动目录上页下页返回结束调和级数与p级数是两个常用的比较级数.若存在对一切机动目录上页下页返回结束例3.机动目录上页下页返回结束抽象函数类型定理3.(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛

3、或发散;(2)当l=0(3)当l=∞证:据极限定义,设两正项级数满足(1)当0

4、4.比值审敛法(D’alembert判别法)设为正项级数,且则(1)当(2)当证:(1)收敛,时,级数收敛;或时,级数发散.由比较审敛法可知机动目录上页下页返回结束因此所以级数发散.时(2)当说明:当时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数但级数收敛;级数发散.从而机动目录上页下页返回结束例6.讨论级数的敛散性.解:根据定理4可知:级数收敛;级数发散;机动目录上页下页返回结束对任意给定的正数定理5.根值审敛法(Cauchy判别法)设为正项级则证明提示:即分别利用上述不等式的左,右部分,可推出结论正确.数,且机动目录上页下页返回结束时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数说明:但级数收

5、敛;级数发散.机动目录上页下页返回结束例6.证明级数收敛于S,似代替和S时所产生的误差.解:由定理5可知该级数收敛.令则所求误差为并估计以部分和Sn近机动目录上页下页返回结束正项级数审敛法要注意的地方首先判断是正项级数;所有审敛法都是充分条件,不是必要的.就是说条件不满足的时候,不能判断发散或收敛,而需要更加精密的法则或直接定义判定.正项级数审敛步骤通项是否趋于0,不趋于0,直接判定发散;比值审敛法或根值审敛法;柯西积分审敛法;极限形式的比较审敛法;不等式形式的比较审敛法;按定义,求部分和数列,据其敛散性判定.作业P2391单;2单;3(2),(4),(5);4单;5(2),(3),(5)第

6、三节目录上页下页返回结束