正项级数的审敛法.ppt

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1、一、正项级数及其审敛法§1.3正项级数的审敛法上页下页铃结束返回首页一、正项级数及其审敛法正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界.正项级数各项都是正数或零的级数称为正项级数.这是因为正项级数的部分和数列{sn}是单调增加的,而单调有界数列是有极限.下页定理1(正项级数收敛的充要条件)定理2(比较审敛法)定理3下页仅就unvn(n1,2,)的情形证明.简要证明因此级数∑un收敛.即部分和数列{sn}有界.v1v2vns(n1,2,),snu1u2un则级数∑un的部分和设级数∑vn收敛,其和为s,反之,若级数∑u

2、n发散,则级数∑vn必发散.由已证结论,级数∑un也收敛,矛盾.这是因为如果级数∑vn收敛,定理2(比较审敛法)解下页定理2(比较审敛法)设∑un和∑vn都是正项级数,且unkvn(k>0,nN).若级数∑vn收敛,则级数∑un收敛;若级数∑un发散,则级数∑vn发散.将级数改写成2)若当p>1时，上式中的最后一个级数是收敛的几何级数，其部分和σn有界，从而p-级数的部分和sn满足也即sn有界，由定理结论知，当p>1时，p-级数收敛。设∑un和∑vn都是正项级数,且unkvn(k>0,nN).若级数∑vn收敛,则级数∑un收敛;若级数∑un发散,则级数

3、∑vn发散.p级数的收敛性证下页定理2(比较审敛法)调和级数与p级数是用于正项级数收敛性判断的两个常用的比较级数.若存在对一切例：提示：调和级数与p级数是用于正项级数收敛性判断的两个常用的比较级数.若存在对一切简要证明当n>N时,有不等式再根据比较审敛法,即得所要证的结论.(1)如果lvunnn=¥®lim(0£l<+¥),且å¥=1nnv收敛,则å¥=1nnu收敛;(2)如果lvunnn=¥®lim(0

4、)如果lvunnn=¥®lim(0

5、由比较判敛法可知收敛.注意:反之不成立.例如,收敛,发散.思考：设级数收敛,能否推出收敛?提示:思考：则级数收敛,且其和su1,其余项rn的绝对值

6、rn

7、un1.定理(莱布尼茨（Leibnitz）定理)这是一个交错级数.解由莱布尼茨定理,级数是收敛的,且其和s

8、rn

9、un1.定理7(莱布尼茨（Leibnitz）定理)因为此级数满足例51.判别级数的敛散性:解:(1)发散,故原级数发散.(2)发散,故原级数发散.下页定理8(比值审敛法达朗贝尔审敛法)证明：提示:思考：提示:思考：例10解：下页

10、定理9(根值审敛法柯西判别法)所以根据根值审敛法可知所给级数收敛因为解所以根据根值审敛法可知所给级数收敛因为解下页定理9(根值审敛法柯西判别法)时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数思考:但级数收敛;级数发散.定理9(根值审敛法柯西判别法)例解：定理