数项级数的审敛法

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1、一、正项级数及其审敛法1.定义:这种级数称为正项级数.2.正项级数收敛的充要条件:定理部分和数列为单调增加数列.证明即部分和数列有界3.比较审敛法不是有界数列定理证毕.比较审敛法的不便:须有参考级数.解由图可知重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.证明4.比较审敛法的极限形式:设å¥=1nnu与å¥=1nnv都是正项级数,如果则(1)当时,二级数有相同的敛散性;(2)当时，若收敛,则收敛;(3)当时,若å¥=1nnv发散,则å¥=1nnu发散;证明由比较审敛法的推论,得证.解原级数发散.故原级数收敛.证明收敛发散比值审敛法的优点:不必找参考级数

2、.两点注意:解比值审敛法失效,改用比较审敛法级数收敛.二、交错级数及其审敛法定义:正、负项相间的级数称为交错级数.证明满足收敛的两个条件,定理证毕.解原级数收敛.三、任意项级数定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.绝对收敛与条件收敛定义：（1）如果级数的各项绝对值所组成的级数收敛，则称原级数绝对敛；（2）如果级数收敛，而它的各项绝对值所组成的级数发散，则称原级数条件收敛。证明上定理的作用：任意项级数正项级数解故由定理知原级数绝对收敛.但是解：根据Leibniz准则知收敛，但它是条件收敛。由于任意项级数各项的绝对值组成的级数是正项级数，因此一

3、切判定正项级数敛散性的判别法，都可以用来判定任意项级数是否绝对收敛。如果收敛，任意项级数只能说明非绝对收敛，不能判定它必发散!(因还可能条件收敛.)那么绝对收敛.但当发散而不时，例8证明级数绝对收敛。证例9解为调和级数,发散为交错级数,条件收敛.例10解判定级数的敛散性.定理4四、绝对收敛级数与条件收敛级数的本质差异是什么？见以下定理。定理5绝对收敛级数可以任意调换项的位置，所得级数仍绝对收敛，且和不变；绝对收敛级数的积等于它们和的积，即若定理5说明绝对收敛级数具有级数却不一定。见下例。有穷和的一切性质，可是条件收敛例6条件收敛级数的一个重排级数:(

4、*)此例表明条件收敛级数(*)中项的次序是不可交换的.四、小结正项级数任意项级数审敛法1.2.4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;思考题思考题解答由比较审敛法知收敛.反之不成立.例如：收敛,发散.练习题练习题答案