常数项级数的审敛法(II)

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1、2021/7/191第二节常数项级数的审敛法第十二章（Interrogateofconstanttermseries）一、正项级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛四、小结与思考练习2021/7/192一、正项级数及其审敛法若定理1正项级数收敛部分和序列有界.若收敛,∴部分和数列有界,故从而又已知故有界.则称为正项级数.单调递增,收敛,也收敛.证:“”“”(Interrogateofpositivetermseries)2021/7/193都有设且存在对一切有(1)若强级数则

2、弱级数(2)若弱级数则强级数证:设对一切则有收敛,也收敛;发散,也发散.分别表示弱级数和强级数的部分和,则有是两个正项级数,(常数k>0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨定理2(比较审敛法)2021/7/194(1)若强级数则有因此对一切有由定理1可知,则有(2)若弱级数因此这说明强级数也发散.也收敛.发散,收敛,弱级数2021/7/195则有两个级数同时收敛或发散;(2)当l=0(3)当l=+∞证:据极限定义,设两正项级数满足(1)当0

3、2021/7/196由定理2可知同时收敛或同时发散;(3)当l=∞时,即由定理2可知,若发散,(1)当00)的敛散性.解:1)若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知p级数发散.发散,例3讨论p级数2021/7/1910因为当故考虑强级数的部分和故强级数收敛,由比较审敛法知p级数收敛.时,2)若2021/7/19112021/7/19122021/7/19132021/7/1914

4、2021/7/19152021/7/1916设为正项级数,且则(1)当(2)当证:(1)收敛,时,级数收敛;或时,级数发散.由比较审敛法可知收敛。定理4比值审敛法(D’Alembert判别法)2021/7/1917因此所以级数发散.时注:当时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数但级数收敛;级数发散.从而(2)当2021/7/19182021/7/19192021/7/1920故对任意给定的正数设为正项级数,且则证:即分别利用上述不等式的左、右部分,可推出结论正确.*定理5根值审敛法(Cau

5、chy判别法)2021/7/1921时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数但级数收敛;级数发散.注:2021/7/19222021/7/1923二、交错级数及其审敛法则各项符号正负相间的级数称为交错级数.定理6(Leibnitz判别法)若交错级数满足条件:则级数收敛,且其和其余项满足(Interrogateofstaggeredseries)2021/7/1924证:是单调递增有上界数列,又故级数收敛于s,且故2021/7/1925收敛收敛收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收

6、敛收敛用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性:2021/7/1926三、绝对收敛与条件收敛定义对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级收敛,数为条件收敛.均为绝对收敛.例：绝对收敛；则称原级数条件收敛.(Absoluteconvergenceandconditionalconvergence)2021/7/1927证:设根据比较审敛法显然收敛,收敛也收敛且收敛,令定理7绝对收敛的级数一定收敛.2021/7/1928证:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.例11证明下列级数

7、绝对收敛:2021/7/1929(2)令因此收敛,绝对收敛.2021/7/19302021/7/1931其和分别为*定理8绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.*定理9(绝对收敛级数的乘法)则对所有乘积按任意顺序排列得到的级数也绝对收敛,设级数与都绝对收敛,其和为绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.说明:条件收敛级数不具有这两条性质.2021/7/1932内容小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数审敛法必要条件不满足发散满足比值审敛法根值审敛法收敛发散不定比较审

8、敛法用其它方法判别积分判别法部分和极限2021/7/1933为收敛级数Leibniz判别法:则交错级数收敛概念:绝对收敛条件收敛3.任意项级数审敛法2021/7/1934思考与练习1、设正项级数收敛,能否推出收敛?提示:由比较判敛法可知收敛.注意:反之不成立.例如,收敛,发散.2021/7/1935则级数(A)发散;(B)绝对收敛;(C)条件收敛;(D)收敛性根据条件不能确定.分析:故(B)错;又C2.