常数项级数审敛法.ppt

《常数项级数审敛法.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（一）第二讲常数项级数的审敛法第八章无穷级数本节学习要求：第八章无穷级数第二节常数项级数敛散性判别法一.正项级数敛散性判别法三.任意项级数及其敛散性判别法二.交错级数及其敛散性判别法比较判别法的极限形式由于(0<<+)故>0,N>0,当n>N时,不妨取运用比较判别法可知,具有相同的敛散性.证(1)当0<<+时,由于(=0)取=1时,N>0,当n>N时,故由比较判别法,当=0时,证(2)由于(=)M>0(不妨取M>1),即

2、由比较判别法,证(3)故N>0,当n>N时,当=时,0vn0为常数).因为(即=1为常数)又是调和级数,它是发散的,发散.解原级数故例4解由比较判别法及P级数的收敛性可知：例定理3.柯西根值判别法(1)<1时,级数收敛；(2)>1(包括=)时,级数发散；(3)=1时,不能由此断定级数的敛散性.解例5判别的敛散性.(x>0,a>0为常数)记解即当x>a时,当0

3、原级数收敛;当xa时,原级数发散.综上所述,定理4.达朗贝尔比值判别法(1)<1时,级数收敛；(2)>1(包括=)时,级数发散；(3)=1时,不能由此断定级数的敛散性.利用级数本身来进行判别.解这是一个正项级数:单调增加有上界,以e为极限.例8判别级数的敛散性,其中,x0为常数.即=x2,由达朗贝尔判别法：解记则需要讨论x的取值范围例9当0<

4、x

5、<1时,<1,级数收敛.当

6、x

7、>1时,>1,级数发散.当

8、x

9、=1时,=1,但原级数此时为这是n=2的P级数,是收敛的.综上所述,

10、当0<

11、x

12、1时,原级数收敛,当

13、x

14、>1时,原级数发散.二.交错级数及其敛散性判别法交错级数是各项正负相间的一种级数,或其中,un0(n=1,2,…).它的一般形式为定义(莱布尼兹判别法)满足条件:(1)(2)unun+1(n=1,2,…)则交错级数收敛,且其和S的值小于u1.(级数收敛的必要条件)定理若交错级数(单调减少)0(由已知条件)证明的关键在于它的极限是否存在？只需证级数部分和Sn当n时极限存在.证1)取交错级前2m项之和由条件(2)：得S2m及由极限存在准则：unun+1,

15、un0,2)取交错级数的前2m+1项之和由条件1):综上所述,有讨论级数的敛散性.这是一个交错级数：又由莱布尼兹判别法,该级数是收敛.解例10解由莱布尼茨判别法,原级数收敛.例(1)级数的绝对收敛和条件收敛定义三.任意项级数及其敛散性判别法定理(即绝对收敛的级数必定收敛)证un

16、un

17、从而(1)<1时,级数绝对收敛.(2)>1(包括=)时,级数发散.(3)=1时,不能由此断定级数的敛散性.定理(达朗贝尔判别法)级数是否绝对收敛?解由调和级数的发散性可知,故发散.例但原级数是一个交错

18、级数,且满足：故原级数是条件收敛,不是绝对收敛的.由莱布尼兹判别法可知,该交错级数收敛.解由P级数的敛散性：即原级数绝对收敛.判别级数的敛散性.例记解判别的敛散性,其中,x1为常数.例当

19、x

20、<1时,=

21、x

22、<1,原级数绝对收敛.当

23、x

24、>1时,=1,此时不能判断其敛散性.由达朗贝尔判别法：但

25、x

26、>1时,原级数发散.(2)绝对收敛级数的性质性质1.任意交换绝对收敛级数中各项的位置,其敛散性不变,其和也不变.性质2.两个绝对收敛的级数的积仍是一个绝对收敛的级数,且其积等于原来两个级数的和之积.

27、(3)任意项级数敛散性的一个判别法(狄利克雷判别法)定理其中,M>0为与n无关的常数,单调递减趋于零部分和有界判别级数的敛散性,其中,x2k,kZ.解单调递减趋于零例14又而x2k,kZ,于是且故由狄利克雷判别法,(x2k,kZ)收敛.作业P282-2832，3，4，7中的奇数小题微积分学的创始人之一数学大师莱布尼茨Friedrich.Leibniz(1646~1716年)莱布尼茨（Leibniz）莱布尼茨(1646~1716年)是在建立微积分中唯一可以与牛顿并列的科学家。他研究法律

28、，在答辩了关于逻辑的论文后，得到哲学学士学位。1666年以论文《论组合的艺术》获得阿尔特道夫大学哲学博士学位，同时获得该校的教授席位。1671年，他制造了他的计算机。1672年3月作为梅因兹的选帝侯大使，政治出差到巴黎。这次访问使他同数学家和科学家有了接触，激起了他对数学的兴趣。可以说，在此之前（1672年前）莱布尼茨基本上不懂数学。1673年他到伦敦，遇到另一些数学家和科学家，促使他更加深入地钻研数学。虽然莱布尼茨靠做外交官生活，卷入各种政治活动，但他