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1、常数项级数的审敛法定理1正项级数收敛的充要条件是:部分和数列为有界数列.1.定义:该级数为正项级数.如果级数中各项均有则称2.部分和数列的特点:部分和数列为单调增加数列.一正项级数的概念定理2（比较审敛法）即部分和数列有界,由定理1得收敛.且证明设定理证毕.发散不是有界数列则且设由图可知设解设则级数发散.例1讨论级数的收敛性.注：重要参考级数几何级数,P-级数,调和级数.即可得即有界,则P-级数收敛.例2试证明发散.证明故级数发散而级数发散注：比较审敛法的缺点是必须有参考级数.定理3（比较审敛法的极
2、限形式）设å¥=1nnu与å¥=1nnv都是正项级数,如果则(1)当时,二级数有相同的敛散性;(2)当时，若收敛,则收敛;(3)当时,若å¥=1nnv发散,则å¥=1nnu发散;当时由比较审敛法的推论,得证.即证明对于由定理4（极限审敛法）解故所给级数发散.例4判别下列级数的敛散性.而发散,而收敛.故原级数收敛.而收敛.故原级数收敛.定理5（比值审敛法、达朗贝尔D’Alembert判别法)即当时,有证明当为有限数时,对收敛当时,发散当时,取使而级数收敛.当时,取使注：1.比值审敛法的优点是不需要参考
3、级数；2.当时比值审敛法无法判别但例如级数发散,级数收敛,例3.条件是充分的,而非必要.级数收敛,但不存在.解例5判别下列级数的敛散性.故该级数收敛.故该级数发散.故该级数发散.解级数收敛.定理6(根值审敛法、柯西判别法)设是正项级数,如果为数或则时级数收敛；时级数收敛；时可能收敛也可能发散.例6判别级数的敛散性.1.定义:正、负项相间的级数称为交错级数.2.定理1(莱布尼茨定理)如果交错级数满足条件:则级数收敛,且其和,其余项的绝对值其中或二交错级数及其审敛法证明数列是单调增加的.又满足收敛的两个
4、条件,定理证毕.级数收敛于和,且余项解例1讨论交错级数的敛散性.且收敛,且其和为用替代,误差类似得,均收敛.例2讨论级数的敛散性.又解即收敛.例3讨论级数的敛散性.解又故函数单减,从而所以原级数收敛.注意1.满足莱布尼兹定理条件的级数称为莱布尼兹型级数.如均为莱布尼兹型级数.2.莱布尼兹定理的两个条件仅是充分条件,但也是必要条件.1.定义1.正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.2.定理2若收敛,则收敛.定义2.若收敛,则称为绝对收敛；若发散,而收敛则称为条件收敛；三绝对收敛与条件收敛注:定理2主
5、要用来联系任意项级数和正项级数,并进行前者敛散性的判别.证明显然且收敛,又收敛解例4判别下列级数是否收敛,若收敛,是绝对收敛还是条件收敛?收敛.故原级数绝对收敛.在例3中已证明了收敛.发散,从而原级数条件收敛.从而原级数发散.
