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1、则称该级数称为正项级数.单调增加.7.2常数项级数的审敛法特点:7.2.1正项级数及其审敛法部分和数列这时,只可能有两种情形:注:正项级数可以任意加括号,其敛散性不变,对收敛的正项级数,其和也不变.定理7.1(正项级数收敛的充要条件)正项级数收敛的充要条件部分和数列有界.级数必发散.定理7.2(正项级数的比较审敛法)证即部分和数列有界,则收敛;(1)若收敛,且(2)若发散,且则发散.所以,收敛.且(2)是(1)的逆否命题,故也成立.推论1比较审敛法的不便:须有敛散性为已知的参考级数.若收敛,且则也收敛；若发散,且则也发散.解(1)设(2)设调和级数发散由比较审敛法发散.例1讨
2、论p—级数的敛散性(常数p>0).收敛.重要参考级数:几何级数,p-级数,调和级数.通常取是敛散性已知的级数作为比较的标准,用于判断的收敛性.重要结论:则p—级数例2讨论下列正项级数的敛散性.解(1)而等比级数收敛，由比较审敛法,原级数收敛.(2)因所以,级数证反之不成立.例如,收敛,发散.由级数收敛的必要条件因级数收敛,例3设正项级数收敛,证明收敛.反之是否成立?由比较审敛法知收敛.所以两级数有相同的敛散性;定理7.3(正项级数的比较审敛法的极限形式)如果则现只证(1)由比较审敛法的推论,得证.即通项无穷小比较.敛散性相同;当时,比较审敛法的实质是注:由比较审敛法可推出如下
3、快速的审敛法.设分母,分子关于n的最高次数分别为级数收敛;级数发散.例如,收敛.解(1)因为原级数发散.例4讨论下列级数的敛散性(2)因故,原级数收敛.故,原级数收敛.证定理7.4(达朗贝尔比值审敛法)则时级数收敛;时级数发散.设是正项级数,如果有即故原级数收敛.原级数发散.所以,当时,当时,比值审敛法的优点:不必找参考级数.注意:当时,级数可能收敛也可能发散.2.若用比值判别法判定级数发散注:级数的通项un不趋于零.1.适用于或关于n的若干连乘积(或商)形式.例如,级数级数收敛3.条件是充分的,而非必要的.例如,所以,级数所以,不存在.解(1)例5讨论下列级数的敛散性此时不
4、能用比值审敛法,改用比较审敛法(2)(3)因解例6讨论级数的敛散性.不存在对级数利用比值审敛法,可知收敛.所以,不能直接用比较审敛法再由正项级数的比较审敛法知,原级数收敛.例7讨论级数的敛散性.解当01时,当x=1时,发散;发散.级数是调和级数,收敛;所以,原级数收敛.定理7.5(柯西根值审敛法)设是正项级数,则时级数收敛;时级数发散.如果例如,级数注意:当时,级数可能收敛也可能发散.解级数发散;级数收敛.例8判别级数的敛散性,其中均为正数,且例如,级数级数例9讨论级数的敛散性.解因为所以,当a>0时,原级数收敛;当a<0时,原级数发散;当a=0时,原级数为
5、发散.*定理7.6(积分审敛法)设是正项级数,N为一自然数.如果存在上的单调函数有相同的敛散性.使得则级数与广义积分解例10判断下列级数的敛散性广义积分所以,级数(1)发散;广义积分发散,广义积分所以,级数(2)收敛.定义1正、负项相间的级数称为交错级数.7.2.2交错级数定理7.7(莱布尼兹定理)则级数收敛,即形如如果交错级数满足条件:分析:证证毕例如,都是收敛的交错级数.也是收敛的交错级数.余项注:比较un与un+1大小的方法有三种:(1)比值法,??(3)由un找出一个连续可导函数考察?(2)差值法,用莱布尼茨定理判别交错级数是否收敛时,要考察un与un+1大小.使得解
6、所以,原级数收敛.例11讨论级数的敛散性.定义2正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.证7.2.3绝对收敛与条件收敛任意项级数思想:定理7.8若收敛,则收敛.正项级数又因例如,均条件收敛.定义3若收敛,则称为绝对收敛;若发散,而收敛,则称为条件收敛.注:一个条件收敛的交错级数的所有奇数项所成的级数是发散的,所有偶数项所成的级数也是发散的.解由定理知,原级数绝对收敛.例12讨论级数的敛散性.通常先考查它若使用比值法或根值法判定级数不绝对收敛(这时级数的通项对于交错级数,利用无穷级数的性质将级数如不是绝对收敛的,再看它是否条件收敛.便可断言级数发散.可用莱布尼茨定理.然后讨论敛
7、散性也是常用手段.拆开为两个级数,讨论任意项级数的收敛性时,是否绝对收敛(用正项级数的审敛法),不趋于零),解(1)所以,原级数绝对收敛.是条件收敛还是绝对收敛.是几何级数,收敛.例13判别下列级数的敛散性,对收敛级数要指明(2)因为又由正项级数的比值判别法知,从而级数(2)不绝对收敛.由于使用的是比值判别法而判定的级数(2)因此断定级数(2)发散.级数发散.不绝对收敛,
