数项级数及审敛法(II)

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1、二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛第二节一、正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法第十二章1.定义:如果级数unu1u2u3…un…,满足条件un0(n1,2,…),则称级数为正项级数。本节研究没有负项的级数。这一限制的理由是这类级数的部分和Sn组成单调增加数列(因为SnSn1un且un0,所以S1S2S3…Sn1Sn…),而单调增加数列有上界就收敛;否则级数发散。2.定理1:正项级数收敛的充分必要条件是:它的部分和Sn数列有界。根据此定理，可以建立判定正项级数敛散性常用的比较判别法。一、正项级数及其审敛法3.

2、定理2(比较审敛法):设un和vn都是正项级数,如果对任意的自然数n满足unvn,则(1)当级数vn收敛时,级数un也收敛；(2)当级数un发散时,级数vn也发散。证:设Snu1u2…un，Wnv1v2…vn，因为unvn，所以SnWn。由局部有界性、定理1可知：(1)如果级数vn收敛，则Wn有界，因此Sn也有界，所以级数un收敛；(2)如果级数un发散，则Sn无界，因此Wn也无界，所以级数vn发散。例1:判定调和级数的敛散性。解:以等差级数为分母所得的级数>显然级数vn发散。所以,由比较判别法可知调和级数>>……

3、发散。另一级数:在1350年左右,N.Oresme(约1320～1382)证明了调和级数发散,这是历史上第一个发散级数的例子,或许是数学中最著名的发散数列。它正好勉强发散。例2:判定级数的敛散性。解:当p1时,。由例1知发散,再根据比较审敛法,即可断定级数发散。当p>1时，由于对任意自然数n，有Sn2时，。由例2知收敛，再根据比较审敛法，即可断定级数收敛。(2)我们忽略第一项，而比较其后的项和几何级数的项。发现因此，根据比较审敛法，原级数收

4、敛。应用比较审敛法关键是要掌握一些常见级数的敛散性。4.定理3(比较审敛法的极限形式):设级数un和vn都是正项级数,如果则(1)当01时,级数发散；(3)当ρ1时,此判别法没有确定的结论。证：(1)因为ρ<1，由数列极限的定义知：对必定

5、存在正整数N，使得当n>N时有因此由于01，由数列极限的定义可知：对必定存在正整数N，使得当n>N时有即:0

6、若干连乘积的情形。*6.定理5(根值审敛法):设un是正项级数,如果则(1)当0r<1时,级数un收敛;(2)当r>1或r时,级数un发散;(3)当r1时,此判别法没有确定的结论。证：（略）例6:判别级数的敛散性。解:因为所以级数收敛。迄今为止所介绍的级数收敛判别法仅仅适用于正项级数。本节讨论的级数一般项可以是任意实数。首先讨论一种特殊的级数——交错级数:正负号相间的级数。这里是三个例子：第二个级数是一个几何级数，它收敛到4/3。第三个级数由性质5知是发散的。应用下列判别法可以证明第一个级数收敛。称交错调和级数二、交错级数及其审敛法1.定理

7、7(Leibniz定理):如果交错级数:满足条件:(1)unun+1(n1,2,…);(2)un→0;则级数收敛,且其和Su1。证:S2k(u1u2)(u3u4)…(u2k1u2k)u1(u2u3)(u4u5)…(u2k2u2k1)u2k第一个等式说明S2k随k增大而增大(因为括号内每项大于等于零);第二个等式说明S2ku1,根据极限存在准则,S2k有极限,记为:再由S2k+1S2ku2k+1及条件(2)得到因此无论n是奇数还是偶数,都有Sn→S。故级数收敛。例7:判别下列交错级数的敛散性:(1)(2)解:(

8、1)因为，且由Leibniz定理知：级数收敛，其和小