导数的概念及运算(4)

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1、导数的概念及运算　　重点难点分析：　　1．导数的定义、意义与性质：　　（1）函数的导数：对于函数f(x)，当自变量x在x0处有增量Δx，则函数y相应地有改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，这两个增量的比叫做函数y=f(x)在x0到x0+Δx之间的平均变化率，即。如果当Δx→0时，有极限，我们说函数在x0处可导，并把这个极限叫做f(x)在x0处的导数（或变化率）。记作f'(x0)或，即。　　（2）导函数：如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点处可导，这时，对于开区间(a,b)内的每一个值x0，都对应着一个确定的导数f'(x

2、0)，这样就在开区间(a,b)内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做f(x)在区间内的导函数，记作f'(x)或y'，即。　　（3）可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续。　　（4）导数的几何意义：过曲线y=f(x)上任意一点(x,y)的切线的斜率就是f(x)在x处的导数，即。也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f'(x0)，切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0)。　　2．求导数的方法：　　（1）求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：　　　　①求函

3、数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)　　　　②求平均变化率　　　　③取极限，得导数。　　（2）几种常见函数的导数公式：　　　　①C'=0(C为常数)；　　　　②(xn)'=nxn-1(n∈Q)；　　　　③(sinx)'=cosx；　　　　④(cosx)'=-sinx；　　　　⑤(ex)'=ex；　　　　⑥(ax)'=axlna　　　　⑦；　　　　⑧　　（3）导数的四则运算法则：　　　　①(u±v)'=u'±v'　　　　②(uv)'=u'v+uv'　　　　③　　（4）复合函数的导数　　复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量

4、的导数，乘以中间变量对自变量的导数。　　说明：　　1．函数的导数实质是一个极限问题，不应理解为平均变化率，而是平均变化率的极限。　　2．求函数的导数要熟练掌握求导公式，特别是复合函数的导数要学会合理地分析　　3．搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线，加速度等问题打下理论基础。　　典型例题：　　例1．求下列函数的导数　　①y=(2x-3)5　　②　　③　　④y=sin32x　　解析：①设u=2x-3，则y=(2x-3)5分解为y=u5，u=2x-3　　由复合函数的求导法则得：　　y'=f'(u)u'(x)=(u5)'(2x-3)'

5、=5u4·2=10u4＝10(2x-3)4　　②设u=3-x，则可分解为，　　。　　③　　　　　　　　④y'=3(sin2x)2·(sin2x)'=3sin22xcos2x(2x)'=6·sin22x·cos2x　　例2．已知曲线，问曲线上哪一点处切线与直线y=-2x+3垂直，并写出这一点切线方程。　　解析：，令，即，　　得x=4，代入，得y=5，　　∴曲线在点(4,5)处的切线与直线y=-2x+3垂直，切线方程为，即x-2y+6=0。　　例3．已知曲线C：y=3x4-2x3-9x2+4。　　①求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；　　

6、②第①小题中切线与曲线C是否还有其它公共点。　　解析：①把x=1代入C的方程，求得y=-4，∴切点为(1,-4)，y'=12x3-6x2-18x　　∴切线斜率为k=12-6-18=-12，∴切线方程为y=-12x+8。　　②由　　得3x4-2x3-9x2+12x-4=0，即(x-1)2(x+2)(3x-2)=0，。　　公共点为(1,-4)（切点），，除切点外，还有两个交点。　　评析：举例说明曲线与直线相切并不说明只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确。　　*例4．设

7、，求f'(x)。　　解析：当x>0时，，当x<0时，，　　由于x=0是该函数的分界点，由导数定义知　　　　　　由于f'+(0)=f'-(0)=1，故有f'(0)=1于是：，　　即：。　　例5．已知使函数的导数为0的x值也使y值为0，求常数a。　　解析：y'=3x2+2ax，令y'=0，得x=0或，　　由题设x=0时，y'=y=0，此时，∴a=0；当时也解出a=0。　　训练题：　　1．已知函数，且f'(1)=2，则a的值为______。　　2．设f(x)=xlnx，则f'(2)=________。　　3．给出下列命题：　　①；　②(ta

8、nx)'=sec2x　　③函数y=

9、x-1

10、在x=1处可导；　④函数y=

11、x-1

12、在x=1处连续。　　其中正确的命题有：_____。　　4．函数y=cosx在点处的切线方程为_______。　　5．已知函数f(x)=ax