不定积分例题及答案理工类吴赣昌

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时间:2018-12-25

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1、第4章不定积分内容概要名称主要内容不定积分不定积分的概念设,,若存在函数,使得对任意均有或,则称为的一个原函数。的全部原函数称为在区间上的不定积分,记为注:(1)若连续,则必可积;(2)若均为的原函数,则。故不定积分的表达式不唯一。性质性质1:或;性质2:或;性质3:,为非零常数。计算方法第一换元积分法(凑微分法)设的原函数为,可导,则有换元公式:第二类换元积分法设单调、可导且导数不为零,有原函数,则分部积分法有理函数积分若有理函数为假分式,则先将其变为多项式和真分式的和;对真分式的处理按情况确定。本章的地位与作用在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问

2、题,实质上是求被积函数的原函数问题;后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分,最终的解决都归结为对定积分的求解;而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲,不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用,积分的问题会不会求解及求解的快慢程度,几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入,同学们会慢慢体会到!课后习题全解习题4-11.求下列不定积分:知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分!66★(1)思路:被积函数,由积分表中的公式(2)可解。解:★(2)思路:根

3、据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解:★(3)思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解:★(4)思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解:★★(5)思路:观察到后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。解:★★(6)思路:注意到,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。66解:注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。★(7)思路:分项积分。解:★(8)思路:分项积分。解:★★

4、(9)思路:?看到,直接积分。解:★★(10)思路:裂项分项积分。解:★(11)解:★★(12)思路:初中数学中有同底数幂的乘法:指数不变,底数相乘。显然。66解:★★(13)思路:应用三角恒等式“”。解:★★(14)思路:被积函数,积分没困难。解:★★(15)思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分。解:★★(16)思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分。解:★(17)思路:不难,关键知道“”。解:★(18)思路:同上题方法,应用“”,分项积分。解:66★★(19)思路:注意到被积函数,应用公式(5)即可。解:★★(20)思路:注意到被积函数,则

5、积分易得。解:★2、设,求。知识点:考查不定积分(原函数)与被积函数的关系。思路分析:直接利用不定积分的性质1:即可。解:等式两边对求导数得:★3、设的导函数为,求的原函数全体。知识点:仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系。思路分析:连续两次求不定积分即可。解:由题意可知,所以的原函数全体为:。★4、证明函数和都是的原函数知识点:考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。思路分析:只需验证即可。解:,而★5、一曲线通过点,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程。66知识点:属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数

6、(不定积分)与被积函数的关系。思路分析:求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。解:设曲线方程为,由题意可知:,;又点在曲线上,适合方程,有,所以曲线的方程为★★6、一物体由静止开始运动,经秒后的速度是,问:(1)在秒后物体离开出发点的距离是多少?(2)物体走完米需要多少时间?知识点:属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。思路分析:求得物体的位移方程的一般式,然后将条件带入方程即可。解:设物体的位移方程为:,则由速度和位移的关系可得:,又因为物体是由静止开始运动的,。(1)秒后物体离开出发点的距

7、离为:米;(2)令秒。习题4-2★1、填空是下列等式成立。知识点:练习简单的凑微分。思路分析:根据微分运算凑齐系数即可。解:2、求下列不定积分。知识点:(凑微分)第一换元积分法的练习。思路分析:审题看看是否需要凑微分。直白的讲,凑微分其实就是看看积分表达式中,有没有成块的形式作为一个整体变量,这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效,这在课外例题中专门介绍!★(1)66思路:凑微分。解:★(2)思路:凑微分。解:★(3)思路:凑微分。解:★(4)思路:凑微分。解:★(5)思路:凑微分

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