高数第一章例题及答案（终）理工类 吴赣昌.doc

《高数第一章例题及答案（终）理工类 吴赣昌.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第一章函数、极限与连续内容概要名称主要内容函数邻域（即）（）函数两个要素：对应法则以及函数的定义域由此，两函数相等两要素相同；（与自变量用何字母表示无关）解析表示法的函数类型：显函数，隐函数，分段函数；特性局部有界性对集合，若存在正数，使对所有，恒有，称函数在上有界，或是上的有界函数；反之无界，即任意正数（无论多大），总存在（能找到），使得局部单调性区间，对区间上任意两点，当时，恒有：，称函数在区间上是单调增加函数；反之，若，则称函数在区间上是单调减小函数；奇偶性设函数的定义域关于原点对称；若，恒有，则称是偶函数；若，恒有，则称是奇函数；周期性若存在非零常数，使得对，有，且，则称是周

2、期函数；初等函数几类基本初等函数：幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数；反函数求法和性质；复合函数性质；初等函数课后习题全解习题1-1★1．求下列函数的定义域：知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x的取值的集合；思路：常见的表达式有①□,（□）②□,（□）③④（）等解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；★2．下列各题中，函数是否相同？为什么？（1）与；（2）与知识点：函数相等的条件；思路：函数的两个要素是（作用法则）及定义域D（作用范围），当两个函数作用法则相同（化简后代数表达式相同）且定义域相同时，两函数相同；解：（1）的定义域D=，的定义域，

3、虽然作用法则相同，但显然两者定义域不同，故不是同一函数；（2），以为自变量，显然定义域为实数；，以为自变量，显然定义域也为实数；两者作用法则相同“□”与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数；★3．设，求，并做出函数的图形知识点：分段函数；思路：注意自变量的不同范围；解：，，；如图：图1-1-3★4．试证下列各函数在指定区间内的单调性：（1）（2），知识点：单调性定义。单调性是局部性质，函数在定义域内不一定有单调性，但是可以考查定义域的某个子区间上函数的单调性的问题。思路：利用单调性的定义即可。解：（1）设，，当时，，由单调性的定义知是单调增函数；（2）设，，，由，，，知，故（对数

4、函数的性质），则有，得结论是单调增函数；★5．设为定义在内的奇函数，若在内单调增加，证明：在内也单调增加知识点：单调性和奇偶性的定义。思路：从单调增加的定义出发，证明过程中利用奇函数的条件；证明：设，则，由在内单调增加得，，又为定义在内的奇函数，则（1）式变形为，即，则结论成立。★6．设下面所考虑函数的定义域关于原点对称，证明：（1）两个偶函数的和仍然是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。知识点：函数奇偶性定义，奇偶性是函数的整体性质。本题可作为结论应用。思路：按定义证明即可。证明：设函数定义域分别是

5、（是关于原点对称区间）；（1）设，定义域为，显然也关于原点对称，当均为偶函数时，，得为偶函数；当均为奇函数时，，得为奇函数；（2）令，定义域为，关于原点对称，当均为奇函数时，，得为偶函数；当均为偶函数时，，得为偶函数；当为一奇一偶时，，得为奇函数；★7．下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非奇函数又非偶函数？（1）；（2）；（3）；（4）。知识点：函数奇偶性定义，奇偶性是函数的整体性质；思路：按定义证明，尤其先判断函数定义域是否关于原点对称，并利用基本初等函数的性质；解：（1），显然既不等于，也不等于，故是非奇非偶函数；下面三个函数的定义域为全体实数，关于原点对称（2），故是

6、偶函数；（3），故是偶函数；（4），故是奇函数；★8．下列各函数中哪些是周期函数？并指出其周期：（1）；（2）；（3）。知识点：函数周期性。思路：利用定义，及基本初等函数性质，或已知结论，可按已知结论（如弦函数，则最小正周期，切函数也有类似结论）。解：（1）由弦函数周期公式知最小正周期；（2）对正数，，而切函数周期是的整数倍，故本题函数不是周期函数；（3），则最小正周期★★9．证明：在上是无界函数；知识点：无界函数定义。思路：证明函数在某区间上是无界的，只需证对（无论有多大），，使其函数值即可。证明：对于任意正数，要使，考虑当，∴要使，只要），取∴（无论有多大），，使得，∴在上是无界

7、函数（注1：取值只要并且确保即可，因此取也可；注2：数学符号“”表示“任意”；“”表示“存在”；“”表示“使得”。）★10．火车站行李收费规定如下：当行李不超过50kg时，按每千克3/20元收费，当超出50kg时，超重部分按每千克1/4元收费，试建立行李收费（元）与行李重量之间的函数关系式。知识点：函数关系的建立。思路：认清变量，关键是找出等量关系。解：。★11．收音机每台售价为90元，成本为60元，厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购超过100台的，每