第九章重积分例题及课后答案（理工类吴赣昌）

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1、第九章重积分内容概要名称主要内容二重积分定义性质①②③④⑤⑥⑦⑧计算法利用直角坐标计算把D写成X型区域把D写成Y型区域利用极坐标计算三重积分利用直角坐标计算投影法(针刺法、先一后二法)截面法(切片法、先二后一法)利用柱面坐标计算利用球面坐标计算应用求立体的体积、求曲面的面积、求质量、重心、转动惯量等课后习题全解习题9-1★1.设有一平面薄板（不计其厚度），占有面上的闭区域，薄板上分布着面密度为的电荷，且在上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷.解：将任意分割成个小区域，在第个小区域上任取一点，由于在上连续和很小，所以用作为上各点函数值的近似

2、值，则上的电荷从而该板上的全部电荷其中是各中的最大直径。★★2.利用二重积分定义证明：（1）（为区域的面积）；（2）（其中为常数）；（3），其中,为两个无公共内点的闭区域。证明：（1）这里，被积函数，由二重积分的定义，对任意分割和取点法，，∴，其中是各中的最大直径。（2）（3）将任意分割成个小区域，是其各小区域的最大直径，将任意分割成个小区域，有类似的意义。记，，于是对应区域就分成了个区域，当时，有且，因为,无公共内点，将以上分割反过来处理：先将分割为个区域，此分割在上的部分为，个小区域。于是当在上可积时，便可如下推出在上可积（或反过来也一样

3、），且有＋★★3.判断积分的符号解：由于，所以，且当时，，于是★★4.判断下列积分值的大小：，，，其中由，，，围成，则之间的大小顺序为（）A.B.C.D.解：因为被比较积分的积分区域相同，故可从被积函数来判断，在区域上，，当时，，从而当时，，其中的只有在边界处才可能取到所以，故应选C.★★★5.估计下列二重积分的值：（1）,其中是矩形闭区域，；（2）,其中是圆形闭区域；解：（1），，，（2）圆形闭区域的面积为，在中，即，，即★★★6.试用二重积分性质证明不等式，其中：，.证明：当时，，由重积分的性质即得，证毕。★★★★7.计算，其中由中心在原

4、点，半径为的圆所围成。解：在上连续，由二重积分的中值定理知，在内至少存在一点，使得，于是有＝＝＝1习题9-2★1.计算下列二重积分：(1)，其中：，;(2)，其中闭区域由坐标轴与所围成;(3)，其中：，;(4)，其中：，.解：(1)==而＝＝＝，所求＝(2)积分区域：，所求＝＝＝＝＝＝(3)=====1(4)=====++其中====所求＝★★2.画出积分区域，并计算下列二重积分：(1)，其中:(2)，其中是由，，所围成的区域(3)，其中是以，，为顶点的三角形闭区域(4)，其中是由，，所围成的区域解：(1)所求===(2)所求＝===(3)所

5、求＝=====(4)所求＝＝＝＝＝＝＝＝(和书上答案不一样)★★3.改变下列二次积分的积分次序：(1);(2);(3);(4);(5)解：(1)原式＝＝(2)由二次积分的积分限有，，改变积分次序后积分限为，所以，原式＝(3)积分区域D：，，可改写为，所以，原式＝(4)由二次积分的积分限，画出积分区域可改写为所以，原式＝(5)由二次积分的积分限画出积分区域知原式＝★★4.设是由不等式所确定的有界闭区域，求二重积分解：由对称性＝0＝+＝+＝所以＝★★5.求证＝证明：画出积分区域知左边＝＝＝★★6.如果二重积分的被积函数是两个函数和的乘积，即＝，积

6、分区域，证明＝证明：＝＝＝★★7.设平面薄片所占的闭区域由直线，和轴所围成，它的面密度，求该薄片的质量。解：设该薄片的质量为,则质量元素＝＝＝＝＝＝★★8.求曲线所围成的平面图形的面积。该曲线所围成的区域为:，故所求面积＝＝＝令，，则，00=＝＝＝★★9.用二重积分表示由曲面，，所围成的立体的体积。解：将所围立体视为以平面为顶，以面上的圆为底的曲顶柱体，根据二重积分的几何意义，所求的体积为★★★10.求由曲面，，，所围成的立体的体积。解：由于所围立体的底部为区域:，，顶部是旋转抛物面，所以所求体积＝＝＝★★11.求由曲面和所围成的立体的体积。

7、解：该立体的上顶面为，下顶面为两曲面的交线为，故交线所围平面区域为平面上的圆域＝＝＝＝，令，，则，00=＝＝＝习题9-3★1.化二重积分为极坐标形式的二次积分，其中积分区域为（1）（2）（3）解：（1）积分区域为圆域，故＝（2）积分区域为环域，故＝（3）积分区域为圆心在，半径为1的圆域，故＝★★2.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分（1）（2）（3）解：（1）画出积分区域草图知＝（2）＝（3）＝★★3.利用极坐标计算下列二重积分：（1），其中是由所围成的闭区域。（2），其中是由与轴所围成的上半部分闭区域。（3），其中是由圆周与坐标轴所围成的

8、在第一象限内的闭区域。（4），其中是由，，，所围成的在第一象限内的闭区域。解：（1）＝＝＝（2）画出积分区域的草图知：，，上半圆的极坐标方程为，所以所求＝＝＝＝（3