高等数学(上册)第11章习题答案_吴赣昌_人民大学出版社_高数_理工类.pdf

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1、1第十一章无穷级数§11.1常数项级数的概念和性质内容概要名称主要内容常数项级数un（un为常数）n1n常数项级数若sns,则un收敛，（sn:前n项部分和）n1的收敛性常数项级数常用的性质1.un，vn收敛(unvn)收敛,且(unvn)unvnn0n0n0n0n0n02.k0则kun与un同收同发n0n03.un加入有限项或去掉有限项,不改变级数的敛散性.n14．un收敛limun0(收敛的必要条件)nn0na常用的结论ar当r1时收敛其和为，当r1时发散.n01r例题分析

2、1★1.已给级数，n1(2n1)(2n1)1)写出此级数的前二项u,u;122)计算部分和s,s;123)计算第n项部分和s;14)用级数收敛性定义验证这个级数是收敛的，并求其和.知识点：前n项部分和sn,常数项级数的收敛性.21111解：1)u,u12(21)(21)13(41)(41)3512)su;113111111111suu(1)()(1)212335232352511113)u()n(2n1)(2n1)22n12n11111111111suuu(1)()()(1)n12n232352

3、2n12n122n1111114)limsnlim(1),收敛,其和为s.nn22n12n1(2n1)(2n1)2n1★★★2.求常数项级数na1之和.n0a知识点：前n项部分和sn.n11na思路:n(n1)n利用arr1n0an1an01r23n解：令s1a1n2n1aaa3n1n则asa2nn3n2aaa111n以上两式相减得(a1)sa1n2n2n1aaaa11a1111na1an1n即s(1)()n2n2n11n1a

4、1a1aaaaa1a1a1a22a11an1alimnsn(1)2,n2，a1.a1a11(a1)n0a(a1)ana注：利用等比级数arr1判别级数的收敛性及求un和是常用的方法.n01rn1★★3．设un收敛,讨论下列级数的敛散性:n1311)(un0.0001);2)un1000;3).n1n1n1un知识点：常数项级数的收敛性.思路:利用常数项级数的性质.解：1)lim(un0.0001)limun0.00010.00010nn(un0.0001)发散.n1注：li

5、mun0，则un发散是判别级数发散常用的方法.nn12)常数项级数的性质:un加入有限项或去掉有限项,不改变级数的敛散性.n1去掉un前1000项得的级数un1000仍收敛n1n1113)lim0,发散.nun1unn课后习题全解习题11-11.写出下列级数的前五项：1n13(2n1)★(1)2★(2)n11nn1242n(1)n1n!★(3)n★(4)nn13n1n11121314153253解：(1)1.2222211121314155517

6、13131510513579(2).284838424681011111(3).2345333332!3!4!5!(4)1234523452.写出下列级数的一般项：234567345678★(1)★(2)12345614916273622345xxxxxaaaa★(3)★(4)2242462468357942341112222324★★(5)135★★(6)xxxx246251017n1n1n1n1解：(1)u(1)(1)(n1,2,3)

7、.nnnnn2(2)u(1)(n1,2,3).nn!nnx2x2(3)u(n1,2,3).n246(2n)(2n)!!n1n1n1an1a(4)u(1)(1)(n1,2,3).n2n12n11(5)u2n1(n1,2,3).n2nn2n(6)ux(n1,2,3).n2n13.根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性:111