高等数学(上册)第3章(2)习题答案_吴赣昌_人民大学出版.pdf

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1、★★4.求下列函数的最大值、最小值：42（1）yx8x2,1x3；（2）ysinxcosx,[0,2π]；2（3）yx1x,5x1；（4）yln(x1),[1,2]。知识点：导数的应用。思路：求函数f(x)在闭区间上最值的基本方法是先求y0的点或者y不存在的点，然后求这些点处的函数值及其闭区间端点处的函数值，比较函数值，最大的即是f(x)在该闭区间上的最大值，最小的即是f(x)在该闭区间上的最小值。3解：（1）在[1,3]上令y4x16x0，得x

2、0，x2；12∵y(1)5，y(0)2，y(2)14，y(3)11，42∴比较可得yx8x2,1x3的最小值为y(2)14，最大值为y(3)11。π5π（2）在[0,2π]上，令ycosxsinx0，得x，x；1244π5π∵y(0)1，y()2，y()2，y(2π)1，445ππ∴比较可得ysinxcosx,[0,2π]的最小值为y()2，最大值为y()2。4421x13（3）在[5,1]上，y0，得x；21x

3、435∵y(5)56，y()，y(1)1，4435∴比较可得yx1x,5x1的最小值为y(5)56，最大值为y()。442x（4）在[1,2]上令y0，得x0；2x1∵y(1)ln2，y(0)0，y(2)ln5，2∴比较可得yln(x1),[1,2]的最小值为y(0)0，最大值为y(2)ln5。★★★5.求下列数列的最大项：10nn（1）n；（2）n。2知识点：导数的应用。思路：求数列f(n)的最大项最小项问题可转化

4、为求函数f(x)在区间[1,)内的最值问题；若xx0为f(x)在区间[1,)内的最小值点，则f(n)f([x])与f(n)f([x]1)中最小的一个为数00列中的最小项；若xx为f(x)在区间[1,)内的最大值点，则f(n)f([x])与00f(n)f([x]1)中最大的一个为数列中的最大项。0109xxx(10ln2)10解：设f(x)，则在区间[1,)内，令fx()0，得唯一驻点x；xx22ln210882210()x(9020ln2xxln

5、2)10ln2由fx()，得f()0，x102ln22ln21010（或者说：当x时，fx()0；当x时，fx()0）ln2ln21010x∴x为f(x)在区间[1,)内唯一的极大值点，也是最大值点；xln221014101014∵[]14，[]14，且2101.003231，ln2ln21515210n∴当n14时，n取得最大项。2111lnx（2）设f(x)xx，则在区间[1,)内，令fx()xx()0，得唯一驻点xe；

6、2x当0xe时，有y0，当xe时，有y0，1f(x)xx在区间[1,)内唯一的极大值点，也是最大值点；∴xe为628n∵[e]2，[e]13，且1，∴当n3时，n取得最大项。339★★6.从一个边长为a的正方形铁皮的四角上截去同样大小的正方形，然后按虚线把四边折起来做成一个无盖的盒子（见图），问要截去多大的小方块，才能使盒子的容量最大？xa图3-5-6知识点：求最值问题。思路：根据题意建立数学函数模型，根据实际意义，确定自变量范围，在所确定的范围上求最值。特

7、别地，f(x)在某个区间内可导且只有一个驻点x，且x是函数f(x)的极值点，则当f(x)是极大值时，000f(x)就是f(x)在该区间上的最大值；当f(x)是极小值时，f(x)就是f(x)在该区间上的最小000值；f(x)在某个区间内可导且只有一个驻点x，且f(x)在该区间上确实存在最值，则f(x)就是00f(x)在该区间上的最值。解：设截去的小正方形的边长为x，则根据题意，得2adVaaV(x)x(a2x)，x(0,)；令(a2x)(a6x)0，得x（舍去），x；2dx26a

8、a23∵V(0)0,V()0,V()a，∴可得，当一个边长为a的正方形的四角上截去一块边长为2627a的小方块，才能使盒子的容量最大。6★★7.欲制造一个容积为V的圆柱形有盖容器，问如何设计可使材料最省？22解：设圆柱形容器的底为r，高为h，则表面积S2πrh2πr，又Vπrh，∴得2V2S(r)2πr,0r，r32VV令Sr()4πr0，得唯一的驻点r；2r2π4V又由Sr()4π，知Sr()12π0，3Vrr32π3V∴r为S(r)的极