不定积分例题及答案_理工类

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1、第4章不定积分内容概要名称主要内容不设fx，xI，若存在函数Fx，使得对任意xI均有Fxfx定积或dFxfxdx，则称Fx为fx的一个原函数。分的fx的全部原函数称为fx在区间I上的不定积分，记为概念fxdxFxC注：1）若（fx连续，则必可积；2）若FxGx均为fx的原函数，则（FxGxC。故不定积分的表达式不唯一。性dfxdxfx或dfxdxfxdx；dx性质1：质不性质2：FxdxFxC或dFxFxC；定积性质3：fxgxdxfxdxgxdx，为非零常数。分计设fu的原函数为Fu，ux可导，则有换元公式：算第一换元方积分法法（凑微分法）fx

2、xdxfxdxFxC第二类设xt单调、可导且导数不为零，ftt有原函数Ft，换元积分法fxdxfttdtFtCF1则xC分部积分法uxvxdxuxdvxuxvxvxdux有理函数积若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理分按情况确定。本章在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；的地后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求位与解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中作用起到了根基的作

3、用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！dx★1x2x51思路:被积函数x2，由积分表中的公式（2）可解。x2x53dx2解：x2xxdxx2C321x3★2dxx思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。111141133解：3xxdxx3x2dxx3dxx2dx4x2x2C★3（2x2）xdx

4、思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。2x13解：（2x）2dxxdxxCx2x2dxln23★4xx3dx思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。315322解：xx3dxx2dx3x2dx5x2x2C3x43x21★★5x21dx3x43x211思路:观察到3x22后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积x12x1分。3x43x211x21dx3xdx1x2dxxarctanxC23解：x2★★61x2dxx2x2111思路:注意到1，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。1x2

5、1x21x2x21解：1x2dxdx1x2dxxarctanxC.注：容易看出56两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。x134★7（--）2xx3x4dx思路:分项积分。x13411解：（-3-4）xdxdx3x3dx4x4dx2xxxdx2x123243xlnxxxC.42332★81x21x2dx思路:分项积分。3211解：1x21x2dx31x2dx21x2dx3arctanx2arcsinxC.★★9xxxdx1117思路:xxx？看到xxxx24

6、8x8，直接积分。71588解：xxxdxx8dx15xC.1★★10x21x2dx思路:裂项分项积分。111111解：x21x2dx2x1x2dx2dxx1x2dxarctanxC.xe2x1★11xdxe1e2x1ex1ex1解：ex1dxex1dxex1dxexxC.3edxxx★★12思路:初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变，底数相乘。显然3e3e）。（xxx（3e）x解：3edx（3e）dxC.xxxln3ecot2★★13xdx思路:应用三角恒等式“cotxcscx1”22。解：cotxdxcscx1dxcotxxC2223x52x

7、★★143xdx23x52x2x思路:被积函数x2（），积分没困难。5332x2352x2xx解：dx2（）dx2x5（5）3C.3x3ln2ln32x2dx★★15cos思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。x1cosx11ddxxsinxC.2解：cos22221★★161cos2xdx思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。11111cos2xdx2cosdxsecxdx2tanxC.2解：2x2cos2x★17cosxsinxdx思路:不难，关键知道“cos2xcos2xsin2xcosxsinxcosxsinx”

8、。cos2x解：cosxsinxdxcosxsinxdxsinxcosxC.cos2x★18cos2xsin2xdx思路:同上题方法，应