不定积分例题及答案.docx

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1、不定积分例题及答案--------------------------------------------------------------------------作者:_____________--------------------------------------------------------------------------日期:_____________第4章不定积分内容概要名称主要内容不设f(x)，xI，若存在函数F(x)，使得对任意xI均有F(x)f(x)定或dF(x)f(x)dx，则称F(x)为f(x)的一个原函数。积f(x)的全部原函数称为

2、f(x)在区间I分上的不定积分，记为的f(x)dxF(x)C概注：（1）若f(x)连续，则必可积；（2）若F(x),G(x)均为f(x)的原函数，则念F(x)G(x)C。故不定积分的表达式不唯一。性性质1：df(x)dxf(x)或df(x)dxf(x)dx；质dx性质2：F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C；不性质3：[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx，,为非零常数。定设f(u)的原函数为F(u)，u(x)可导，则有换元公式：积计第一换元分算f((x))(x)dxf((x))d(x)F((x))C方积分法法（凑微分法）第二类设x(t)单调、可导且导

3、数不为零，f[(t)](t)有原函数F(t)，换元积则f(x)dxf((t))(t)dtF(t)CF(1(x))C分法分部积分法u(x)v(x)dxu(x)dv(x)u(x)v(x)v(x)du(x)本章的地位与作用有理函数积若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处分理按情况确定。在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到了

4、根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！dx★(1)x2x15思路:被积函数x2，由积分表中的公式（2）可解。2xx2dx52x解：x2dxx2x3★(2)(3x1)dxx32C思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。1)dx111141解：(3x(x3x2)dxx3dxx2dx3x32x2Cx4★(3)（2

5、xx2）dx思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。（x2x22x13解：）2dxxdxxC2xdxln23★(4)x(x3)dx思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。3153解：x(x3)dxx2dx3x2dx2x22x2C5★★(5)3x43x21x21dx思路:观察到3x43x213x21后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别x21x21积分。解：3x43x213x2dx12dxx3arctanxCx21dx1x★★(6)x22dx1x思路:注意到x2x21111，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积1

6、x21x21x2分。解：x22dxdx12dxxarctanxC.1x1x注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。3（x1+3-4-xx3）★(7)2x4dx思路:分项积分。解：（x-1+3-4）1xdx1dx3x3dx4x4dx2xx3x4dx2x1x2ln

7、x

8、3x24x3C.423★(8)(32)dxx21x21思路:分项积分。解：(32)dx31dx21dx3arctanx2arcsinxC.x211x211x2x2★★(9)xxxdx1117思路:x

9、xx？看到xxxx248x8，直接积分。715解：xxxdxx8dx8x8C.15★★(10)1dxx2(1x2)思路:裂项分项积分。解：212dx(1212)dx12dx12dx1arctanxC.x(1x)x1xx1xx★(11)e2x1dxex1解：e2x1dx(ex1)(ex1)dx(ex1)dxexxC.ex1ex1★★(12)3xexdx思路:初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变，底数相乘。显然3xxxe（3e）。xxxx（）解：3dx3eC.e（3e）dxln(3e)★★(13)cot2xdx思路:应用三角恒等式“cot2x