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《2014高考数学总复习 第4章 第3讲 平面向量的数量积及应用配套练习 理 新人教a版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四章第3讲(时间：45分钟 分值：100分)一、选择题1.[2013·琼海质检]已知向量a和b的夹角为120°，
2、a
3、＝1，
4、b
5、＝3，则
6、a－b
7、＝( )A. B.2C. D.4答案：A解析：
8、a－b
9、2＝(a－b)2＝
10、a
11、2＋
12、b
13、2－2a·b＝13，故
14、a－b
15、＝.2.[2013·泉州质检]已知正六边形ABCDEF的边长为1，则·(＋)的值为( )A. B.－C. D.－答案：D解析：由题图知，与的夹角为120°.∴·(＋)＝·＋·＝cos120°－12＝－.3.在△ABC中，＝(，－1)，＝(1，－)，则cosB＝( )A.－ B
16、.C. D.0答案：A解析：∵在△ABC中，＝(，－1)，＝(1，－)，∴
17、
18、＝2，
19、
20、＝2，＝(－，1)，∴cosB＝＝＝－，选A.4.[2013·福建厦门]在△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC＝3，点M满足＝2，则·等于( )A.2 B.3C.4 D.6答案：B解析：解法1：如图，以C为原点，CA、CB为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(3,0)，B(0,3)，设M(x0，y0)，∵＝2，∴，∴，∴·＝(2,1)·(0,3)＝3，故选B.解法2：∵＝2，∴＝，∴·＝·(＋)＝
21、
22、2＋·()＝9＋×3×3×(－)＝3.5．[2013·正定模拟]已知a，b
23、是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是( )A. B.C. D.答案：B解析：∵(a－2b)⊥a，∴(a－2b)·a＝a2－2a·b＝0，即a2＝2a·b.∵(b－2a)⊥b，∴(b－2a)·b＝b2－2a·b＝0，即b2＝2a·b.∴a2＝b2＝2a·b.∴cos〈a，b〉＝＝＝.又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.6.[2013·广州检测]已知两个非零向量a与b，定义
24、a×b
25、＝
26、a
27、·
28、b
29、sinθ，其中θ为a与b的夹角．若a＝(－3,4)，b＝(0,2)，则
30、a×b
31、的值为( )A.－8 B.－6C.8 D.6答
32、案：D解析：
33、a
34、＝＝5，
35、b
36、＝＝2，a·b＝－3×0＋4×2＝8，所以cosθ＝＝＝，又因为θ∈[0，π]，所以sinθ＝＝＝.故根据定义可知
37、a×b
38、＝
39、a
40、·
41、b
42、sinθ＝5×2×＝6，故选D.二、填空题7.[2013·金版原创]已知向量a＝(2,1)，b＝(1，m)，若a与b的夹角是锐角，则实数m的取值范围是________．答案：(－2，)∪(，＋∞)解析：∵cosθ>0，则有2＋m>0，m>－2，又∵a与b共线时，2m－1＝0，m＝，此时不合题意，∴m的范围(－2，)∪(，＋∞)．8.[2013·三门峡质检]已知向量a，b满足
43、2a＋b
44、＝，且a⊥b，则
45、2a
46、－b
47、＝________.答案：解析：∵
48、2a＋b
49、＝，∴(2a＋b)2＝7，即4a2＋b2＋4a·b＝7，∵a⊥b，∴a·b＝0，∴4a2＋b2＝7，∴
50、2a－b
51、＝＝＝.9.[2013·湖北孝感统考]在△ABC中，∠A＝90°，且·＝－1，则边c的长为________．答案：1解析：∵·＝－1，∴ac·cos(π－B)＝－1，即accosB＝1，又cosB＝，∴a2＋c2－b2＝2.∵∠A＝90°，∴a2＝b2＋c2，代入上式得c＝1.三、解答题10.已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．(1)设c＝4a＋b，求(b·c)a；(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；(3)
52、求向量a在b方向上的投影．解：(1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．∴b·c＝2×6－2×6＝0，∴(b·c)a＝0a＝0.(2)a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，由于a＋λb与a垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.∴λ的值为.(3)设向量a与b的夹角为θ，向量a在b方向上的投影为
53、a
54、cosθ.∴
55、a
56、cosθ＝＝＝－＝－.11.[2013·西城区模拟]设在平面上有两个向量a＝(cosα，sinα)(0°≤α<360°)，b＝(－，)．(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；(2)当
57、向量a＋b与a－b的模相等时，求α的大小．(1)证明：因为(a＋b)·(a－b)＝
58、a
59、2－
60、b
61、2＝(cos2α＋sin2α)－(＋)＝0，故a＋b与a－b垂直．(2)解：由
62、a＋b
63、＝
64、a－b
65、，两边平方得3
66、a
67、2＋2a·b＋
68、b
69、2＝
70、a
71、2－2a·b＋3
72、b
73、2，所以2(
74、a
75、2－
76、b
77、2)＋4a·b＝0.而
78、a
79、＝
80、b
81、，所以a·b＝0，则(－)×cosα＋×sinα＝0，即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k·180°＋90°，即α＝k·180°＋30°，k∈Z，又0°≤α<360°
