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《高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质本讲测评2 新人教a版选修4-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第一讲相似三角形的判定及有关性质本讲知识结构本讲测试1如图1-1，已知在△ABC中，∠C＝90°,正方形DEFC内接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC＝1，BC＝2，则AF∶FC等于（）图1-1A.1∶3B.1∶4C.1∶2D.2∶3思路解析:设正方形边长为x，则由△AFE∽△ACB,可得，即.所以x=，于是=.答案：C2在△ABC中，AB=9，AC=12，BC=18，D为AC上一点，DC=AC，在AB上取一点E，得到△ADE.若图中的两个三角形相似，则DE的长是（）A.6B.8C.6或8D.14思路解析:依题意，本题有两种情形：（1）如图(1
2、)，过D作DE∥CB交AB于E，则，AB=9，AC=12，DC=AC=×12=8.∴AD=AC-DC=12-8=4.∴DE==6.（2）如图(2)，作∠ADE=∠B，交AB于E，则△ADE∽△ABC，∴有.∴DE==8.∴DE的长为6或8.答案：C3如图1-2所示，矩形ABCD中，AB=12，AD=10，将此矩形折叠，使点B落在AD边上的中点E处，则折痕FG的长为（）图1-2A.13B.C.D.思路解析:如图，过A作AH∥FG,交CD于H，则四边形AFGH是平行四边形，∴AH=FG.∵FG⊥BE，∴AH⊥BE.∴∠ABE＋∠BAH=90°.∵∠BAH
3、＋∠DAH=90°，∴∠ABE=∠DAH.∵∠BAE=∠ADH=90°,∴△ABE∽△DAH.∴.∵AB=12，AE=AD=×10=5，AD=10,∴BE==13.∴.∴AH=.答案：C4如图1-3所示，将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转60°至AB′C′D′的位置，则这两个正方形重叠部分的面积为（）A.4B.2-C.2＋D.-1图1-3图1-4思路解析:过B′点作EF∥BC，分别交AB、DC于E、F.由基本图形知Rt△KFB′∽Rt△B′EA.利用AE2＋B′E2=AB′2,AE=AB′=,求出B′E=.∴连结AK，则Rt△AB′K≌
4、Rt△ADK,S△AB′K=S△ADK.∴SAB′KD=2S△AB′K=AB′×KB′=2-.答案：B5如图1-4所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形＝40cm2，S△ABE∶S△DBA＝1∶5，则AE的长为（）A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm思路解析:∵∠BAD=90°，AE⊥BD，∴△ABE∽△DBA.∴S△ABE∶S△DBA=AB2∶DB2.∵S△ABE∶S△DBA=1∶5，∴AB2∶DB2=1∶.∴AB∶DB=1∶.设AB=k，DB=k，则AD=2k.∵S矩形=40cm2，∴k·2k=40.∴k=.∴BD=k=10，AD=.
5、S△ABD=BD·AE=20.∴·10·AE=20.∴AE=4cm.答案：A6如图1-5，已知△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点.BE的延长线交AC于点F，求证:AF=AC.图1-5思路分析:要证AF=AC，只要能在FC上取一点G,证明AF=FG=GC即可．当已知三角形一边的中点时，常过该点作三角形其他边的平行线，构成平分第三边的基本图形.证明：过D点作DG∥BF交AC于点G.∵BD=DC,DG∥BF,∴FG=GC.又∵EF∥DG,AE=ED,∴AF∥DG.∴AF=AC.7如图1-6所示，已知直线FD和△ABC的BC边交于D，与AC边交
6、于E，与BA的延长线交于F，且BD=DC，求证:AE·FB=EC·FA.图1-6思路分析:本题只要证即可.由于与没有直接联系，因此必须寻找过渡比将它们联系起来，因此考虑添加平行线进行构造.证明：过A作AG∥BC，交DF于G点.∵AG∥BD，∴又∵BD=DC，∴=.∵AG∥BC,∴=.∴=，即AE·FB=EC·FA.8如图1-7，已知矩形ABCD中，AB∶BC=5∶6，点E在BC上，点F在CD上，EC=BC，FC=CD，FG⊥AE于G，求证:AG=4GE.图1-7思路分析:图中有直角三角形，应充分利用直角三角形的知识，设AB=5k，BC=6k(k>0)
7、，则EC=BC=k,FC=CD=AB=3k，得DF=2k，由勾股定理可得AE2=AB2＋BE2=50k2，EF2=EC2＋FC2=10k2，AF2=AD2＋DF2=40k2，所以AE2=EF2＋AF2.由勾股定理逆定理得Rt△AFE，又因为FG⊥AE，具备双垂直的条件，问题的解决就有了眉目.证明：∵AB∶BC=5∶6,∴设AB=5k,BC=6k(k>0).∴在矩形ABCD中，有CD=AB=5k,BC=AD=6k,∠B=∠C=∠D=90°.∵EC=BC,∴EC=×6k=k.∴BE=5k.∵FC=CD,∴FC=×5k=3k.∴DF=CD-FC=2k.在R
8、t△ADF中，由勾股定理得AF2=AD2＋DF2=36k2＋4k2=40k2.同理，可得AE2=50k2,E
