高中数学 第08周 数列的综合问题周末培优 理 新人教a版必修5

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1、第08周数列的综合问题（测试时间：50分钟，总分：100分）班级：____________姓名：____________座号：____________得分：____________一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设等比数列的公比为，若，，成等差数列，则的值为A．B．C．或D．或【答案】C【解析】因为，，成等差数列，所以，又数列是等比数列，所以上式可化为，解得，故选C．2．已知等差数列的公差是2，若成等比数列，则的前项和A．B．C．D．【答案】A3．已知是公差不为的等差数列的前项和，若，，成等比数列，则A．B

2、．C．D．【答案】C【解析】设等差数列的公差为，则，因为，，成等比数列，所以，即，化简可得，故，故选C．4．定义为个正数的“均倒数”，已知数列的前项的“均倒数”为，若，则A．B．C．D．【答案】C5．已知等比数列的公比为q，记，，则以下结论一定正确的是A．数列为等差数列，公差为B．数列为等比数列，公比为C．数列为等比数列，公比为D．数列为等比数列，公比为【答案】C【解析】因为是等比数列，所以，．故选C．6．若数列是等差数列，构成公比为的等比数列，则A．B．C．D．无法确定【答案】A7．已知数列为等比数列，其前项和为，若，且与的等差中项为，则A．B．C．D．【答案】B【解析】设等比

3、数列的公比为，因为，所以，所以，又与的等差中项为，所以，即，所以，所以，，所以，故选B．8．已知数列的前项和为，若对任意的正整数，，则下列关于的论断中正确的是A．一定是等差数列B．一定是等比数列C．可能是等差数列，但不会是等比数列D．可能是等比数列，但不会是等差数列【答案】C【解析】因为，所以，所以，若，则数列是等差数列；若，则数列是首项为，公比为的等比数列，所以，此时，即数列从第二项起，后面的项组成等比数列．综上，数列可能是等差数列，但不会是等比数列．故选C．【名师点睛】给出与的递推关系求，常用思路是：①利用转化为关于的递推关系，再求其通项公式；②转化为关于的递推关系，先求出与

4、之间的关系，再求．9．已知数列的前项和为，且，，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为A．B．C．D．【答案】B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将正确的答案填在题中的横线上．10．设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和．若成等比数列，则的值为________________．【答案】【解析】依题意得，∴，解得．11．设是数列的前项和，且，，则________________．【答案】【解析】由可得，即，整理得，即，故数列是以为首项，为公差的等差的数列，所以，故．12．已知为数列的前项和，且，若，则________________．【答案】【名师点睛】裂项相消法

5、是指将数列的通项分成两个式子的差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如（其中是各项均不为零的等差数列，为常数）的数列．裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和（如本题），还有一类隔一项的裂项求和，如，等．13．在数列中，已知，，，，若是数列的前项和，则________________．【答案】【解析】由题意得，当为奇数时，，即数列中的偶数项形成首项为，公差为的等差数列，所以；当为偶数时，，，即数列中的奇数项两相邻项之和均等于，所以．因此，该数列的前项和．【名师点睛】本题考查了数列递推式、数列的求和问题，考查了分类讨论思想，属于中档题．解题时要注意分类讨论

6、思想和分组求和法的合理运用．求解此类问题时，若发现其中奇数项之间有关系、偶数项之间有关系，则可用分组求和的方法进行求解．14．已知等差数列的公差，，若成等比数列，且成等比数列，若对任意的，恒有，则_________________．【答案】或三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分10分）已知数列是公差不为0的等差数列，为其前n项和，，且和的等差中项为11．令，设数列的前n项和为．（1）求及；（2）若正整数m，n满足，且，，成等比数列，求正整数的m，n的值．【答案】（1），；（2），．【解析】（1）设等差数列的

7、公差为d，则由题意得，即，解得，所以．（2分）因为，所以．（5分）（2）由（1）知，，所以，，（6分）因为，，成等比数列，所以，即，即，即，即　①，（8分）因为，所以，解得．因为，，所以，将代入①式，得．所以，．（10分）16．（本小题满分10分）已知正项数列的前n项和满足，且．（1）证明：数列是等比数列，并求其通项公式；（2）设数列满足，设其前n项和为，数列的前n项和为，证明：．【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析．所以当时，，（4分）所以数列是以2为首项，2为公比的等