高数(工)a1测试卷(定积分及应用解答

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1、上海应用技术学院2012—2013学年第一学期《高等数学（工）1、A1》测试卷（定积分及应用解答）一．单项选择题（每小题3分，共15分）1．函数在上连续是函数在可积的（A）．A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．无关条件2．设，则（B）．A．B．C．D．无法确定3．函数在上连续，且存在二阶导数，满足，，记，，则（D）．A．B．C．D．4．反常积分是（B）．A．发散B．收敛C．.可能收敛可能发散D．无法确定5．积分中值定理中的是上（B）．A．任意一点B．必存在的某一点C．唯一的某点D．中点二.填空题

2、（每小题3分，共15分）6．设函数是定义在上连续的偶函数，则函数的奇偶性是．解：，令，，时，，时，，是奇函数7．定积分．解：第5页共5页．8．设，则．解：，9．已知,,在上具有二阶连续的导数，则．解：．10．积分．解：，．三．计算题（每小题7分，共56分）11．求极限．解：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）12．计算定积分．解：令，，，．．．．．．．．．

3、．．．．．．．．．．．．．（1分）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分）第5页共5页．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）13．计算定积分．解：．．．．．．．．（4分）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）14．设，求．解：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

4、．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）15．判别反常积分的收敛性．（提示令）解：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3分）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分

5、）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）16．设，求．解：令．．．．．．．．．．．．（2分）．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）第5页共5页．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）17．设连续且满足，试求．解：设，两边在上积分．．．．．．．（2分）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分），．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分）．．．．

6、．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）18．设图形由曲线与围成，图形由曲线与直线围成，图形由图形与合并而成，求由图形绕轴旋转所得旋转体的体积；并问当为何值时，上述旋转体的体积最小？解：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分），．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分）当时，最小，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

7、．（7分）四．综合题（第19题7分，第20题7分）19．若在上连续，证明：．证明：设则当时，当时，．．．．．．．．．（2分）．．．．．．．．．．．．．．．（4分）第5页共5页．．．．．．．．．（6分）所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）20.设函数在上可导，且满足条件，试证明：至少存在一点，使得．证明：由积分中值定理，其中．．．．．．．．．．．（2分）令，，则在上满足罗尔定理条件，．．．．．（5分）存在使，即：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）第5页共

8、5页