高中数学 第一章 算法初步 1.3 算法案例学案 新人教b版必修3

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1、1.3 算法案例明目标、知重点1.了解各种进位制与十进制之间转换的规律.2.学会各种进位制转换成十进制的计算方法.3.了解十进制转换为各种进位制的除k取余法,并理解其中的数学规律.填要点、记疑点1.进位制进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统,“满k进一”就是k进制,k进制的基数是k.把十进制转化为k进制数时,通常用除k取余法.2.各进制数的表示方法一般地,若k是一个大于1的整数,那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式anan-1…a1a0(k)(an,an-1,…,a1,

2、a0∈N,0

3、的历法.今天我们来学习进位制.探究点一 进位制的概念思考1 进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统,如逢十进一,就是十进制;每七天为一周,就是七进制;每十二个月为一年,就是十二进制;每六十分钟为一个小时,就是六十进制等等.一般地,“满k进一”就是k进制,其中k称为k进制的基数.那么k是一个什么范围内的数?答 k是大于或等于2的整数.思考2 十进制使用0~9十个数字,那么二进制、五进制、七进制分别使用哪些数字?答 二进制使用0,1二个数;五进制使用0~4五个数;七进制使用0~6七个数.思考3 在十进

4、制中10表示十,在二进制中10表示2.一般地,若k是一个大于1的整数,则以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式:anan-1…a1a0(k),其中各个数位上的数字an,an-1,…,a1,a0的取值范围如何?答 它们的取值范围为0~k-1的整数.思考4 十进制数4528表示的数可以写成4×103+5×102+2×101+8×100,依此类比,二进制数110011(2),八进制数7342(8)分别可以写成什么式子?答 110011(2)=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+

5、1×20,7342(8)=7×83+3×82+4×81+2×80.思考5 一般地,如何将k进制数anan-1…a1a0(k)写成各数位上的数字与基数k的幂的乘积之和的形式?答 anan-1…a1a0(k)=an×kn+an-1×kn-1+…+a1×k1+a0×k0思考6 在二进制中,0+0,0+1,1+0,1+1的值分别是多少?答 分别是0,1,1,10.探究点二 k进制化十进制的算法思考1 二进制数110011(2)化为十进制数是什么数?答 110011(2)=1×25+1×24+0×23+0×22

6、+1×21+1×20=32+16+2+1=51.思考2 二进制数中从右数第i位数字ai化为十进制数是什么数?答 ai×2i-1小结 将k进制数anan-1…a1a0(k)化为十进制的方法:把k进制数anan-1…a1a0(k)写成各数位上的数字与基数k的幂的乘积之和的形式,然后计算出结果即为对应的十进制数.探究点三 除k取余法思考1 二进制数101101(2)化为十进制数是什么数?十进制数89化为二进制数是什么数?答 101101(2)=25+23+22+1=45.89=2×(2×(2×(2×(2×2

7、+1)+1)+0)+0)+1=2×(2×(2×(2×(22+1)+1)+0)+0)+1=…=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20=1011001(2).思考2 89化十进制数为二进制数的算法叫做除2取余法,转化过程有些复杂,观察右面的算式你有什么发现吗?答 把算式中的余数按箭头方向从下向上写出,即为89的二进制数.思考3 上述方法也可以推广为把十进制数化为k进制数的算法,称为除k取余法,那么十进制数191化为五进制数是什么数?答 191=1231(5).例 将十进制数4

8、58分别转化为四进制数和六进制数.解 算式如下图,则458=13022(4)=2042(6)反思与感悟 十进制数化为k进制数的思路为→→.跟踪训练 1011001(2)=______(10)=______(5).答案 89 324解析 十进制数为1×26+0+1×24+1×23+0+0+1×20=89,再将89化成五进制数:89除以5的商是17,余数为4,17除以5的商是3,余数为2,所以五进制数为324.【当堂测、查疑缺】               

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