高中数学 第一章 算法初步 1.3 算法案例学案 新人教b版必修3

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1、1.3　算法案例明目标、知重点1．了解各种进位制与十进制之间转换的规律．2．学会各种进位制转换成十进制的计算方法．3．了解十进制转换为各种进位制的除k取余法，并理解其中的数学规律．填要点、记疑点1．进位制进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，“满k进一”就是k进制，k进制的基数是k.把十进制转化为k进制数时，通常用除k取余法．2．各进制数的表示方法一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式anan－1…a1a0(k)(an，an－1，…，a1，

2、a0∈N,0

3、的历法．今天我们来学习进位制．探究点一　进位制的概念思考1　进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统，如逢十进一，就是十进制；每七天为一周，就是七进制；每十二个月为一年，就是十二进制；每六十分钟为一个小时，就是六十进制等等．一般地，“满k进一”就是k进制，其中k称为k进制的基数．那么k是一个什么范围内的数？答　k是大于或等于2的整数．思考2　十进制使用0～9十个数字，那么二进制、五进制、七进制分别使用哪些数字？答　二进制使用0,1二个数；五进制使用0～4五个数；七进制使用0～6七个数．思考3　在十进

4、制中10表示十，在二进制中10表示2.一般地，若k是一个大于1的整数，则以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式：anan－1…a1a0(k)，其中各个数位上的数字an，an－1，…，a1，a0的取值范围如何？答　它们的取值范围为0～k－1的整数．思考4　十进制数4528表示的数可以写成4×103＋5×102＋2×101＋8×100，依此类比，二进制数110011(2)，八进制数7342(8)分别可以写成什么式子？答　110011(2)＝1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋

5、1×20，7342(8)＝7×83＋3×82＋4×81＋2×80.思考5　一般地，如何将k进制数anan－1…a1a0(k)写成各数位上的数字与基数k的幂的乘积之和的形式？答　anan－1…a1a0(k)＝an×kn＋an－1×kn－1＋…＋a1×k1＋a0×k0思考6　在二进制中，0＋0,0＋1,1＋0,1＋1的值分别是多少？答　分别是0,1,1,10.探究点二　k进制化十进制的算法思考1　二进制数110011(2)化为十进制数是什么数？答　110011(2)＝1×25＋1×24＋0×23＋0×22

6、＋1×21＋1×20＝32＋16＋2＋1＝51.思考2　二进制数中从右数第i位数字ai化为十进制数是什么数？答　ai×2i－1小结　将k进制数anan－1…a1a0(k)化为十进制的方法：把k进制数anan－1…a1a0(k)写成各数位上的数字与基数k的幂的乘积之和的形式，然后计算出结果即为对应的十进制数．探究点三　除k取余法思考1　二进制数101101(2)化为十进制数是什么数？十进制数89化为二进制数是什么数？答　101101(2)＝25＋23＋22＋1＝45.89＝2×(2×(2×(2×(2×2

7、＋1)＋1)＋0)＋0)＋1＝2×(2×(2×(2×(22＋1)＋1)＋0)＋0)＋1＝…＝1×26＋0×25＋1×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20＝1011001(2)．思考2　89化十进制数为二进制数的算法叫做除2取余法，转化过程有些复杂，观察右面的算式你有什么发现吗？答　把算式中的余数按箭头方向从下向上写出，即为89的二进制数．思考3　上述方法也可以推广为把十进制数化为k进制数的算法，称为除k取余法，那么十进制数191化为五进制数是什么数？答　191＝1231(5)．例　将十进制数4

8、58分别转化为四进制数和六进制数．解　算式如下图，则458＝13022(4)＝2042(6)反思与感悟　十进制数化为k进制数的思路为→→.跟踪训练　1011001(2)＝______(10)＝______(5)．答案　89　324解析　十进制数为1×26＋0＋1×24＋1×23＋0＋0＋1×20＝89，再将89化成五进制数：89除以5的商是17，余数为4,17除以5的商是3，余数为2，所以五进制数为324.【当堂测、查疑缺】