2018版高中数学 第一章 算法初步 1.3 算法案例学案 新人教a版必修3

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1、1.3算法案例[学习目标]　1.理解辗转相除法与更相减损术的含义，了解其执行过程.2.理解秦九韶算法的计算过程，并了解它提高计算效率的实质.3.理解进位制的概念，能进行不同进位制间的转化.4.了解进位制的程序框图和程序．知识点一　辗转相除法与更相减损术1．辗转相除法(1)辗转相除法，又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法．(2)辗转相除法的算法步骤第一步，给定两个正整数m，n.第二步，计算m除以n所得的余数r.第三步，m＝n，n＝r.第四步，若r＝0，则m，n的最大公约数等于

2、m；否则，返回第二步．2．更相减损术第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．3．辗转相除法和更相减损术的区别与联系：名称辗转相除法更相减损术区别(1)以除法为主；(2)两个整数的差值较大时，运算次数较少；(3)相除，余数为0时得结果(1)以减法为主；(2)两个整数的差值较大时，运算次数

3、较多；(3)相减，减数与差相等时得结果；(4)相减前要进行是否都是偶数的判断联系(1)都是求两个正整数最大公约数的方法；(2)二者的实质都是递推的过程；(3)二者都要用循环结构来实现思考　实际应用更相减损术时要做的第一步工作是什么？答　先判断a，b是否为偶数，若是，都除以2再进行．知识点二　秦九韶算法1．秦九韶算法简介(1)秦九韶算法要解决的问题是求多项式的值．(2)秦九韶算法的特点：通过一次式的反复计算，逐步得到高次多项式的值，即将一个n次多项式的求值问题归结为重复计算n个一次多项式的值的问题．(3)

4、秦九韶算法的原理：将f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改写为：f(x)＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝…先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝anx＋an－1，再由内向外逐层计算一次多项式vk的值．2．秦九韶算法的操作方法(1)算法步骤如下：第一步，输入多项式次数n、最高次项的系数an和x的值．第二步，将v的值初始化为an，将i的值初始化为n－1.第三步，输入i次项的系数ai.第四步，v＝v

5、x＋ai，i＝i－1.第五步，判断i是否大于或等于0.若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v.(2)程序框图如图所示．(3)程序如下：INPUT　“n＝”；nINPUT　“an＝”；aINPUT　“x＝”；xv＝ai＝n－1WHILE　i＞＝0　PRINT　“i＝”；i　INPUT　“ai＝”；a　v＝v*x＋a　i＝i－1WENDPRINT　vEND知识点三　进位制1．进位制的概念进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定“满几进一”就是几进制，几进制的基数(大于1的整数)就是几．2．常见的

6、进位制(1)二进制：①只使用0和1两个数学；②满二进一，即1＋1＝10(2)．(2)八进制：①使用0,1,2,3,4,5,6,7这八个不同数学；②满八进一，即7＋1＝10(8)．(3)十六进制：①使用0～9十个数字和A～F表示10～15；②F＋1＝10(16)思考　任何进位制中都要用到的数字是什么？答　0和1.题型一　求两个正整数的最大公约数例1　分别用辗转相除法和更相减损术求261和319的最大公约数．解　方法一　(辗转相除法)319÷261＝1(余58)，261÷58＝4(余29)，58÷29＝2(

7、余0)，所以319与261的最大公约数为29.方法二　(更相减损术)319－261＝58，261－58＝203，203－58＝145，145－58＝87，87－58＝29，58－29＝29，29－29＝0，所以319与261的最大公约数是29.反思与感悟　(1)利用辗转相除法求给定的两个数的最大公约数，即利用带余除法，用数对中较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的数对，再利用带余除法，直到大数被小数除尽，则这时的较小数就是原来两个数的最大公约数．(2)利用更相减损术求两个正整数的

8、最大公约数的一般步骤是：首先判断两个正整数是否都是偶数．若是，用2约简．也可以不除以2，直接求最大公约数，这样不影响最后结果．跟踪训练1　用辗转相除法求80与36的最大公约数，并用更相减损术检验你的结果．解　80＝36×2＋8，36＝8×4＋4,8＝4×2＋0，即80与36的最大公约数是4.验证：80÷2＝40,36÷2＝18；40÷2＝20,18÷2＝9；20—9＝11,11－9＝2；9－2＝7,7－2＝5；5－2＝3,3－2＝1；2－1