高中数学 2.4.2 等比数列学案 新人教a版必修5

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1、等比数列学案一、课前预习（一）预习目标1.理解等比数列的定义；2.了解等比数列的通项公式（二）自我探究下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?（教材上的P48面）1，2，4，8，16，…，263;①1，，，，…；②1，，…；③④对于数列①，=;=2（n≥2）．对于数列②，=；（n≥2）．对于数列③，=;=20（n≥2）．共同特点：(1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数q；｛｝成等比数列=q（，q≠0．）(2)隐含：任一项(3)q=1时，{an}为常数数列．（4）．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．（四）提出疑惑（五）预习内容1、等比数列的定义2、等比数列的通项公式1.如果一个数

2、列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做该等比数列的公比，我们通常用字母（）表示。数学语言描述：对于数列，如果满足（、，为常数，），那么为等比数列。2.当等比数列的公比时。该等比数列为常数列。3.等比数列的通项公式：，对于等比数列的通项公式，我们有以下结论：①；②（，此结论对于有意义时适用）。4.等比数列的增减性：若，当时，等比数列为递增数列；当时，等比数列为递减数列；当时，等比数列的增减性无法确定（摆动数列）。若，当时，等比数列为递减数列；当时，等比数列为递增数列；当时，等比数列的增减性无法确定（摆动数列）。5.如果在数和中间插入一个数，使

3、得、、三数成等比数列，那么我们就称数为数和的等比中项，且。6.等比数列的前项和公式设数列是公比为的等比数列，那么该数列的前项和。7.等比数列的主要性质：（1）在等比数列中，若，则；（2）在等比数列中，若，则；（3）对于等比数列，若数列是等差数列，则数列也是等比数列；（4）若数列是等比数列，则对于任意实数，数列、也是等比数列；（5）若数列是等比数列且，则数列也是等比数列；（6）若数列是等比数列且，则数列为等差数列；（7）若数列和都是等比数列，则数列也是等比数列；（8）若是等比数列的前项和，则、、、…成等比数列，其公比为；四、课堂同步训练1.已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是()　　　　　

4、　　　　　　2.已知是等比数列，，则3.若实数、、成等比数列，则函数与轴的交点的个数为（）无法确定4.在数列中，，且是公比为（）的等比数列，该数列满足（），则公比的取值范围是（）5.设数列满足（，，），且，则__________。6.设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则__________。7.设是由正数组成的等比数列，公比，且，则__________。8.设两个方程、的四个根组成以2为公比的等比数列，则________。9.设数列为等比数列，，已知，。（1）求等比数列的首项和公比；（2）求数列的通项公式。10.设数列的前项和为，已知（1）证明：当时，是等比数列；（2）求的通项公式。11.

5、已知数列和满足：，，其中为实数，为正整数。（1）对任意实数，证明数列不是等比数列；（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；（3）设,为数列的前项和。是否存在实数，使得对任意正整数，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由。【同步训练参考答案】1.解析：设数列的公比为，那么，函数（）的值域为，从而求得的取值范围。2.解析：等比数列的公比，显然数列也是等比数列，其首项为，公比，。3.解析：、、成等比数列，，二次函数的判别式，从而函数与轴无交点。4.，，而，，即，解得，而，故公比的取值范围为。5.解析：，即，也即，从而数列是公比为的等比数列。。6.解析：的两根分别为和，，从而、，。。7

6、.解析：，，。8.解析：设该等比数列为、、、，，，从而、、，。9.解：（1）对于等式，令得；令得，，。（2），则①①得②②①得：。10.解：（1）证明：由题意知，且，两式相减得，即①当时，由①知，于是又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。（2）当时，由（1）知，即；当时，由①得故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列。（3）由（2）知，当时，，，不满足题目要求。，故知，可得，要使对任意正整数成立，即，得①令，则当为正奇数时，；当为正偶数时，。所以的最大值为，最小值为。于是，由①式得。当时，由知，不存在实数满足题目要求；当时，存在实数，使得对任意正整数，都有，且的取值范围是。