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1、2008年高考数学专题讲座专题二函数与导数函数是高中数学的重要内容，它把中学数学各个分支紧紧地联系在一起，以函数为载体，综合不等式、方程、数列交叉会合处为主干，特别是二次函数、二次不等式、二次方程是高中数学的重要内容，它把中学数学的各个分支有机的联系在一起，以“三个二次”为载体，综合二次函数、二次不等式、二次方程的交叉汇合处为主干，构筑成知识网络型代数推理题，多年来在高考中出题的频率相当高，占据着相当重要的地位.利用导数研究或处理函数问题，既可以加深对导数的理解，又可以为解决函数问题提供有利的方法，使得函数问题得以简化.高考对导数
2、的应用中的考查形成了五大热点：热点1-----利用导数的几何意义处理曲线的切线问题；热点2-----利用导数研究三次函数，分式函数的性质问题；热点3-----利用导数研究函数的单调性，单调区间，以及已知函数的单调性，确定函数式中的参变量变化范围等问题；第17页共17页2008年高考数学专题讲座热点4-----利用导数处理含参数的恒成立不等式问题；热点5-----利用导数解决实际问题中的最优化问题.在高考命题中，除了极少数直接考查导数的有关知识外，更多的是以导数为工具解决函数的性态问题，不等式的证明，几何切线问题以及解决应用问题.数
3、学是一种工具，数学解题的最终目标就是利用有效的工具去合理地解决问题.导数就是这样一个很好的例证.导数作为高中数学新增内容，它为研究函数的形态提供了一般的方法，利用导数研究函数的单调性，极值，最值问题，较之传统方法具有简捷明快，容易掌握等特别明显的优越性，为解决函数问题提供了有力的方法，使得函数问题得到简化.导数的几何意义又为研究几何中的切线问题提供了更简捷的方法.要记住函数的几个重要性质：（1）关于对称性.①如果函数对于,都有,那么,函数的图象关于直线对称;如果函数对于,都有,那么,函数的图象关于直线对称;②如果函数对于,都有第1
4、7页共17页2008年高考数学专题讲座,那么,函数的图象关于点对称;对称;如果函数对于,都有,那么,函数的图象关于点对称;③函数与函数的图象关于直线对称;函数与函数的图象关于直线对称;函数与函数的图象关于原点对称;④函数与函数的图象关于直线对称;函数与函数的图象关于直线对称;⑤函数与函数的图象关于直线对称;(2)关于奇偶性与单调性的关系.①如果奇函数在区间上是递增的,那么函数在区间上也是递增的;第17页共17页2008年高考数学专题讲座②如果偶函数在区间上是递增的,那么函数在区间上是递减的;(3)关于复合函数的单调性.如果函数在区
5、间上有定义,值域为区间F，函数在区间F上有定义,则①若为增函数,也为增函数,则为增函数;②若为增函数,为减函数,则为减函数;③若为减函数,也为减函数,则为增函数;④若为减函数,为增函数,则为减函数;(4)关于分段函数的单调性.若函数,在区间上是增函数,在区间上是增函数,则在区间上不一定是增函数,若使得在区间上一定是增函数,需补充条件:.(5)关于周期性与对称性.第17页共17页2008年高考数学专题讲座结合三角函数的性质记忆.考试大纲的说明中指出：“高考把函数与方程的思想作为七种数学思想方法的重点来考查，使用选择题和填空题考查函数
6、与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识的网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查.”什么是函数和方程思想？简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系,对函数和方程思想的考查,主要是考查能不能用函数和方程思想指导解题,在用函数和方程思想指导解题时要经常思考下面一些问题:－是否需要把一个代数式看成一个函数?－是否需要把字母看作变量？－如果把一个代数式看成了函数，把一个或几个字母看成了变量，那么这个函数有什么性质？－如果一个问题从表面上看不是一个函数问题，能否构造一个函数来帮助解
7、题？－是否需要把一个等式看作为一个含未知数的方程？－如果是一个方程，那么这个方程的根（例如根的虚实，正负，范围等）有什么要求？根的几何意义是什么？第17页共17页2008年高考数学专题讲座【例1】已知二次函数的图象经过坐标原点,其导数为数列的前n项和为，点均在函数的图像上.（1）求数列的通项公式；（2）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m.【分析及解】（1）依题意得，设这二次函数,则,又由于,得.所以.又因为点均在函数的图像上，所以.当n≥2时，;当n=1时，所以.（2）由（1）得，故=.第17页共17页2008
8、年高考数学专题讲座把代数式看作的函数,因此，使得成立的必须满足的最大值,即≤，即,故满足要求的最小整数为10.【例2】已知是上的减函数，那么a的取值范围是.A.B.C.D.【分析及解】本题从表面上看并不困难,若为减函数,则,若为减函数,则,于是,a
