《重积分习题详解》word版

《《重积分习题详解》word版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、第八章重积分习题详解第八章重积分习　题　8-11．设有一个面薄板（不计其厚度），占有面上的闭区域，薄板上分布有面密度为的电荷，且在上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷．解用一组曲线将分成个小闭区域，其面积也记为.任取一点,则上分布的电量.通过求和、取极限，便得到该板上的全部电荷为其中的直径．2.设其中；又其中．试利用二重积分的几何意义说明与之间的关系．解　由二重积分的几何意义知，表示底为、顶为曲面的曲顶柱体的体积；表示底为、顶为曲面的曲顶柱体的体积．由于位于上方的曲面关于面和面均对称，故面和面将分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为．由此可知．3.利用二重积分定义证明：(1

2、)；(2)；(3)其中，、为两个无公共内点的闭区域.证　(1)　由于被积函数，故由二重积分定义得20第八章重积分习题详解　　(2)　　(3)因为函数在闭区域上可积，故不论把怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割时，可以使和的公共边界永远是一条分割线。这样在上的积分和就等于上的积分和加上的积分和，记为令所有的直径的最大值，上式两端同时取极限，即得4.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：(1)与，其中积分区域是由轴、轴与直线所围成；(2)与，其中积分区域是由圆周所围成；(3)与，其中是三角形闭区域，三顶点分别为；(4)与，其中.解　(1)　在积分区域上，，故有，根据二重积分的性质

3、４，可得(2)　由于积分区域位于半平面内，故在上有．从而(3)由于积分区域位于条形区域内，故知上的点满足，从而有．因此(4)由于积分区域位于半平面内，故在上有，从而有．因此20第八章重积分习题详解5.利用二重积分的性质估计下列积分的值：(1)其中；(2)其中；(3)其中；(4)其中.解　(1)在积分区域上，，，从而，又的面积等于，因此(2)在积分区域上，，，从而，又的面积等于，因此(3)在积分区域上，，的面积等于，因此(4)在积分区域上，，从而，又的面积等于，因此习　题　8-21.计算下列二重积分：(1)，其中；(2)，其中是由两坐标轴及直线所围成的闭区域；(3)，其中；(4)其中是顶

4、点分别为，和的三角形闭区域．解　(1)(2)可用不等式表示为，于是20第八章重积分习题详解(3)　　　　　　(4)　可用不等式表示为，于是2.画出积分区域，并计算下列二重积分：(1)，其中是由两条抛物线，所围成的闭区域；(2)，其中是由圆周及轴所围成的右半闭区域；(3)，其中；(4)，其中是由直线，及所围成的闭区域．解　(1)　可用不等式表示为，于是(2)　可用不等式表示为，于是(3)，其中，，于是(4)　可用不等式表示为，于是20第八章重积分习题详解2.化二重积分为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域是：(1)由直线及抛物线所围成的闭区域；(2)由轴

5、及半圆周所围成的闭区域；(3)由直线，及双曲线所围成的闭区域；(4)环形闭区域．解　(1)　直线及抛物线的交点为和，于是或(2)　将用不等式表示为，于是可将化为；如将用不等式表示为，于是可将化为(3)　三个交点为、和，于是或(4)　将划分为４块，得或4.改换下列二次积分的积分次序：20第八章重积分习题详解(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．解　(1)　所给二次积分等于二重积分，其中，可改写为，于是原式(2)　所给二次积分等于二重积分，其中，可改写为，于是原式(3)　所给二次积分等于二重积分，其中，可改写为，于是原式(4)　所给二次积分等于二重积分，其中，可改写为，于是原式(

6、5)　所给二次积分等于二重积分，其中，可改写为，于是原式(6)　所给二次积分等于二重积分，将表示为，其中，20第八章重积分习题详解，于是原式5.计算由四个平面，，，所围成柱体被平面及截得的立体的体积．解　此立体为一曲顶柱体，它的底是面上的闭区域，顶是曲面，因此所求立体的体积为6.求由曲面及所围成的立体的体积．解　所求立体在面上的投影区域为所求立体的体积等于两个曲顶柱体体积的差：7.画出积分区域，把积分表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域是：(1)；(2)；(3)，其中；(4)．解　(1)在极坐标中，，故(2)在极坐标中，，故(3)在极坐标中，，故20第八章重积分习题详解(4)在极坐

7、标中，直线的方程为，故，于是8.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：(1)；(2)；(3)；(4)．解　(1)用直线将积分区域分成、两部分：，，于是原式(2)在极坐标中，直线和的方程分别是和。因此，又，于是原式(3)在极坐标中，直线的方程为，圆的方程为，因此，故原式(4)在极坐标中，直线的方程为，抛物线的方程为，即；两者的交点与原点的连线的方程是。因此20第八章重积分习题详解，故原式9.把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：(1)；(2)；