第08章重积分习题详解

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1、第八章重积分习题8-11.设有一个面簿板(不计其厚度)，占有xOy面上的闭区域D,薄板上分布有面密度为“=“(x,y)的电荷，Jl“(x,y)在Q上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q.解JIJ一组曲线将D分成n个小闭区域卜6，其面积也记为=1,2,…,n).任取一点(§•,%)€Act,,则上分布的电量AQ«通过求和、取极限，便得到该板上的全部电荷为i=ld其中2=max{Act的直径)・

2、(x,y)

3、0

4、JJ7(x,y)dcr二JJ7(x,y)db+JJ7(x,y)d6其中D=D^D2,0、Q为两个无公共I)D、l)2内点的闭区域.证(1)山于被积函数/(兀刃三1,故山二重积分定义得JJdo■巳吧工,q)△込=lim^Actz=limo-=a.f)1=1°/=!^kf(x,y)da=kf(^.,rji)Acr,乂比£/(痔,Q)Aq乂JJ7(x,y)d6D心1<=lD(3)因为函数f(x.y)在闭区域D上可积，故不论把D怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割D时，可以使Q和6的公共边界永远是一条分割线。这样/UoO在°uq

5、上的积分和就等于°上的积分和加D2上的积分和，记为DUEDD2令所有Aq的直径的最人值2TO,上式两端同时取极限，即得fff(x,y)(la=JJ7(x,y)dcr+jpO,y)ded}jd2d{d24.根据二重积分的性质，比鮫下列积分的大小:(1)JJ(x+y)2d

6、ln(x4-y)d(r与JJ[ln(x+

7、y)]2dcr,其中D是三角形闭区域，三顶点分别为DD(1,0)，(1,1),(2,0):(1)jjln(x+y)dcr与jj[ln(x+y)Fdcr,其中Z>={(x,y)

8、3x<5,0

9、j(x+yfda<+y)2da.DD(2)由于积分区域。位于半平ffi{(x,y)lx+y>l}内，故在D上有(x+y)2<(x4-y)+y+l)db其中D={(x,y)

10、0x<1,0

11、cr.DD(3)rh于积分区域Q位于条形区域{(x,y)\e}内，故在D±^'ln(x+y)>1,从而有[ln(x+y)]2»ln(x+y).因此JJ[ln(x+y)FdcrAj

12、ln(x+y)da.I)D5.利用二重积分的性质估计下列积分的值：(1)I=Jp7(x+y)dcr其中£>={(x,y)

13、O<

14、x<1,0

15、0

16、^=(x(sin2x-sinx)(ir=+)'<4}.D解⑴在积分区域D上，05兀51,0的面枳等于1,因此0WJjxy(x+y)d

17、区域D上，0