高等数学习题详解-第8章二重积分

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1、习题8-11.设有一平面薄片，在xOy平面上形成闭区域D，它在点(x,y)处的面密度为μ(x,y)，且μ(x,y)在D连续，试用二重积分表示该薄片的质量.解：.2.试比较下列二重积分的大小：(1)与，其中D由x轴、y轴及直线x+y=1围成；(2)与，其中D是以A(1,0)，B(1,1)，C(2，0）为顶点的三角形闭区域.解：(1)在D内，，.(2)在D内，,习题8-21.画出积分区域，并计算下列二重积分：(1)，其中D为矩形闭区域：；(2)，其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域；(3),其中D是由直线y=2,y=x,y=2x所围成

2、的闭区域；(4),其中D是半圆形闭区域:x2+y2≤4,x≥0；(5),其中D为:0≤x≤4,1≤y≤e；(6)其中D是由曲线所围成的闭区域.解：(1)(2)(3)(4)因为被积函数是关于y的奇函数，且D关于x轴对称，所以(5).(6).-7-2.将二重积分化为二次积分（两种次序）其中积分区域D分别如下：(1)以点(0,0),(2,0),(1,1)为顶点的三角形；(2)由直线y=x及抛物线y2=4x所围成的闭区域；(3)由直线y=x,x=2及双曲线所围成的闭区域；(4)由曲线y=x2及y=1所围成的闭区域.解：(1)(2)(3)(4)3.交换

3、下列二次积分的积分次序：(1)；（2）；(3)；(4).解：(1).(2)(3)(4).4.求由平面x=0,y=0,x=1,y=1所围成的柱体被平面z=0及2x+3y+z=6截得的立体体积.解：5.求由平面x=0,y=0,x+y=1所围成的柱体被平面z=0及曲面x2+y2=6－z截得的立体体积.解：习题8-31.画出积分区域，把二重积分化为极坐标系下的二次积分,其中积分区域D是：(1)x2+y2≤a2　(a>0)；(2)x2+y2≤2x；(3)1≤x2+y2≤4；(4)0≤y≤1－x,0≤x≤1.解：(1)(2)(3)(4)-7-2.把下列积分化为

4、极坐标形式，并计算积分值：(1)；(2)解：(1).(2)3.在极坐标系下计算下列二重积分：(1),其中D是圆形闭区域:x2+y2≤1；(2),其中D是由圆周x2+y2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；(3)，其中D是由圆周x2+y2=1,x2+y2=4及直线y=0,y=x所围成的在第一象限内的闭区域；(4)其中D由圆周x2+y2=Rx(R>0)所围成.解：(1)(2).(3)(4).4.求由曲面z=x2+y2与所围成的立体体积.解：两条曲线的交线为x2+y2=1，因此，所围成的立体体积为：习题8-41.计算反常二重积分，其中D：x≥0,

5、y≥x.2.计算反常二重积分，其中D：x2+y2≥1.-7-解：1.所以2.由，得复习题8（A）1.将二重积分化为二次积分(两种次序都要)，其中积分区域D是：(1)︱x︱≤1,︱y︱≤2;(2)由直线y=x及抛物线y2=4x所围成.解：(1)(2)2.交换下列两次积分的次序：(1);(2);(3)．解：(1).(2).(3).3.计算下列二重积分：(1)，D:︱x︱≤1,︱y︱≤1;(2),D由直线y=1,x=2及y=x围成；(3),D由y=x和y=x３围成；(4)，D:︱x︱+︱y︱≤1;(5)，D由与y=x围成；(6)，D是圆域x2

6、＋y2≤R2；解:(1).(2).(3).-7-(4).(5).(6).4.已知反常二重积分收敛，求其值．其中D是由曲线y=4x2与y=9x2在第一象限所围成的区域．解：设则.所以.5.计算．解：由第四节例2以及是偶函数，可知.6.求由曲面z=0及z=4-x2-y2所围空间立体的体积．解：曲面z=0和z=4-x2-y2的交线为x2+y2=4.因此，所围空间立体的体积为：.7.已知曲线y=lnx及过此曲线上点(e，1）的切线．(1)求由曲线y=lnx，直线和y=0所围成的平面图形D的面积；(2)求以平面图形D为底，以曲面z=ey为顶的曲顶柱体的体积．

7、解：(1).(2).（B）1.交换积分次序：(1)；（2）；(3)；(4).解：(1).-7-(2).(3).(4).2.计算积分.解：.3.计算积分.解：令,则原式.4.设函数f(x)在区间上连续，且，求.解：设..5.计算，其中D是由直线y=0,y=1及双曲线x2－y2=1所围成的闭区域.解：.6.计算.解：.7.证明，其中n为大于1的正整数.证：-7--7-