高等数学二重积分习题

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1、第九章重积分习题课(一)二重积分一、二重积分的概念1．定义：2．几何意义：表示曲顶柱体的体积3．物理意义：——的质量.二、二重积分的性质（三重类似）1．线性性质：2.可加性：4.单调性：3.区域的面积：若在上,,则设5．估值性质：6．中值定理：则在上至少存在一点,使得是的面积，7.奇偶对称性：,是的面积0D关于x(或y)轴对称,为y(或x)的奇函数设函数在闭区域上连续,D关于x(或y)轴对称,为y(或x)的偶函数则三、二重积分的计算方法1．利用直角坐标计算（1）X-型区域：.关键：选择积分次序（2）Y

2、-型区域：2．利用极坐标计算四.典型例题【例1】利用二重积分的性质，估计积分的值；其中由于在上故由二重积分的性质可知即【例2】计算二重积分其中分析首先应画出区域的图形.本题可采用直角坐标计算。注意到既是型区域,又是型区域，而无论型区域或型区域都不能用一个不等式组表出,均需要把分割成两个型区域或两个型区域的和的形式。不妨把分成型区域的和来计算．解:积分区域如图所示..将二重积分转化为先对后对的二次积分,得因其中解:积分区域如图所示.在极坐标系下，由于【例3】计算二重积分其中是由圆周,及直线,所围成的第一

3、象限内的闭区域..将二重积分转化为极坐标系下先对后对的二次积分,得【例4】计算二重积分.其中是圆周所围成的闭区域。解:在极坐标系下，由于.【例5】计算二重积分其中.解:积分区域如图。为去掉绝对值：因为其中则【例6】设区域计算二重积分分析由于积分区域关于轴对称，故先利用二重积分的化为二次积分进行计算即可。其中然后再利用极坐标将对称性简化所求的积分.因是关于变量为偶函数，关于为奇函数，故解：【例7】设有连续的一阶导数，且求分析本题是二重积分的计算、变上限积分求导和求极限的综合题目。应首先利用极坐标将二重积

4、分转化成积分变上限的函数，然后再利用洛必达法则求极限。解：型型五、二重积分的应用1．几何应用（其中）2．物理应用（1）质量（2）质心（3）转动惯量曲顶柱体的体积【例8】求上半球面与旋转抛物面所围成的立体的体积。分析首先求出立体在坐标面上的投影区域，然后利用二重积分的几何意义将所求立体的体积用二重积分来表示，再利用极坐标计算即可。解：令求得曲线在坐标面上的投影曲线方程为故立体在坐标面上投影区域为由二重积分的几何意义，可知所求立体的体积为六、交换二次积分次序的方法交换二次积分的次序，其实质是把二重积分化为

5、二次积分的逆问题。改变积分次序应首先对给定的二次积分求出其对应的二重积分的积分区域,其次要判断的类型,然后再根据的类型,将二重积分化为另一次序的二次积分。典型例题【例9】改变的积分次序。步骤：原不等式-区域图-新不等式-新积分限解设.可知为型区域;且所以【例10】计算分析由于被积函数为如果先对变量积分,则会遇到原函数求不出的问题,所以计算二次积分的问题就归结为改变积分次序的问题，即把二次积分化成先对后对的二次积分。解：由于可以表示成型区域(如图)所以.（令)【例11】证明分析观察所要证明的等式的左右两

6、边不难发现，等式左边是一个二次积分，可视作是一个二重积分化成的二次积分，而等式的右端是一个定积分。对于二重积分来说，若能够化为二次积分并积出一次便可化为定积分。因此，证明上式的关键在于将左边的二次积分交换次序。于是有把表示为型区域为:解：设为:如图.