高等数学-二重积分概念

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1、第十章一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分重积分三、二重积分的性质第一节一、引例二、二重积分的定义与可积性四、曲顶柱体体积的计算二重积分的概念与性质第十章解法:一、引例1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：顶:侧面：求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”xOy面上的闭区域D连续曲面以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面类似定积分解决问题的思想:1)“大化小”以它们为底把曲顶柱体分为n个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体用曲线网分D为n个区域任意4)“取极限”令则曲顶柱体的体

2、积为：2.平面薄片的质量有一个平面薄片,在xOy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”相应把薄片也分为小块.用曲线网分D为n个小区域任意2)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第k小块的质量两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:二、二重积分的定义及可积性定义将区域D任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积

3、,积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,在D上的二重积分.引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果在D上可积,元素d也常记作二重积分记作这时分区域D,因此面积可用平行坐标轴的直线来划二重积分存在定理:若函数定理2(证明略)定理1在D上可积.限个点或有限条光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域D上连续,则若有界函数在有界闭区域D上除去有例如,在D:上二重积分存在;在D上二重积分不存在.三、二重积分的性质(k为常数)为D的面积,则特别,由于则5.若在D上6.设D的面积为

4、,则有7.(二重积分的中值定理)证由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上为D的面积,则至少存在一点使使连续,因此由性质6可知,例1其中解它在与x轴的交点(1,0)处与直线从而而域D位于直线的上方,故在D上比较下列积分的大小:积分域D的边界为圆周例2估计下列积分之值解由于积分性质5即:1.96I2DD的面积为例3判断积分的正负号.解则原式=猜想结果为负但不好估计.舍去此项分积分域为8.设函数D位于x轴上方的部分为D1,当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍在D上在闭区域上连续,域D关于x轴对称,

5、则则有类似结果.在第一象限部分,则有四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的记作同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算记作例4解利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为求两个底圆半径为R的直交圆柱面所围的体积.设两个直圆柱方程为内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)3.曲顶柱体体积的计算二次积分法被积函数相同,且非负,思考与练习解由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系:2.设D是第二象限的一个有界闭域,且0

6、,则的大小顺序为()因0