高等数学讲稿9-1二重积分的概念与性质

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1、题目质性与念概的分积重二节一第内容提要义何定儿的的分分积积重重二二重点分析难点分析习题布置7单ZTX5k单✓(X43备注教学内容一、问题的提出1.曲顶柱体的体积柱体体积二底面积X高特点：平顶.柱体体积二？特点:曲顶.曲顶柱体求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法.步骤如下：先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，曲顶柱体的体积V=A

2、块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量n定义设y)是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D任意分成n个小闭区域△“，△©，…，其中A。表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个40上任取一点(&，aJ,作乘积Act.(z=1,2,•••,/?),并作和f=1如果当各小闭区域的直径屮的最人值2趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数/(X,y)在闭区域D上的二重积分,记为JJ/G,y)da,即JJ/(兀,y)d(y=lim£Aq.DD匸1对二重积分定义的说明：(1)在二重积分的定义小，对闭区域的划分是任意的.(2)当f(x,y)在闭区域上连续时，定义

3、屮和式的极限必存在，即二重积分必存在.二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积.当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值.在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D,则面积元素为da=dxdy故二重积分可写为JJ/(x,y)d(7=jj/(x,y)dxdyDD三、二重积分的性质(二重枳分与定积分有类似的性质)性质1当k为常数时，kf(x,y)d(y=k^f(x,y)d(r.DD性质2JJ[/(x,y)±g(x,y)]dcrD=JJ/(兀,y)db±JJg(x9y)d(T.DD性质3对区域具有可加性(D=9+r>2)兀»do=jjf(x,y)d(

4、J+jj/(x,y)da.D性质4Dd2若(7为D的面积，(7=JJ1•deDD性质5若在D±/(x,y)

5、/(x,30do.性质6设M、加分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，CF为D的面积,则m')在闭区域D上连续，CT为D的面积，则在D上至少存在一点(負〃)使得22对y1-t+2t=icrtrH7(x,y)d(r=/(§,〃)9(二重积分中值定理)D不作计算，估计I=\e(x2+y

6、2)d(y的值，其中D是椭圆闭区域:D(0上•/00.4

7、x+y

8、

9、尸§ln(x2+y2)<0;又当兀+yvl时，ln(x2+y2)<0,于是jjln(x2+y2)dxdy<0.其中D是三角形例4比较积分jjln(x+y)da与JJ[ln(x+y)Fdcr的大小,DD闭区域，三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).解三角形斜边方程x+y=2在D内有15x+yS2vs于是ln(x+y)>[ln(x+y)]2,因此jjln(x+y)d(r>jj

10、ln(x+y)]2Jcr.四、小结二重积分的定义(和式的极限)二重积分的几何意义(曲顶柱体的体积)二重积分的性质思考题将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.思考题解答定

11、积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关.不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平血区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数.