高等数学(林伟初)习题详解习题详解-第章 极限与连续

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1、习题2-11.观察下列数列的变化趋势,写出其极限:(1);(2);(3); (4).解:(1)此数列为所以。(2)所以原数列极限不存在。(3)所以。(4)所以2.下列说法是否正确:(1)收敛数列一定有界;(2)有界数列一定收敛;(3)无界数列一定发散;(4)极限大于0的数列的通项也一定大于0.解:(1)正确。(2)错误例如数列有界,但它不收敛。(3)正确。(4)错误例如数列极限为1,极限大于零,但是小于零。*3.用数列极限的精确定义证明下列极限:(1);(2);(3)证:(1)对于任给的正数ε,要使,只要

2、即可,所以可取正整数.因此,,,当时,总有,所以.(2)对于任给的正数ε,当时,要使,只要即可,所以可取正整数.因此,,,当时,总有,所以.(3)对于任给的正数ε,要使,只要即可,所以可取正整数.因此,,,当时,总有,所以.习题2-21.利用函数图像,观察变化趋势,写出下列极限:(1);(2);(3); (4);(5);(6);(7); (8)解:(1);(2);(3); (4);(5);(6);(7); (8)2.函数在点x0处有定义,是当时有极限的( D )(A)必要条件(B)充分条件(C)充要条件(

3、D)无关条件解:由函数极限的定义可知,研究当的极限时,我们关心的是x无限趋近x0时的变化趋势,而不关心在处有无定义,大小如何。3.与都存在是函数在点x0处有极限的( A )(A)必要条件(B)充分条件(C)充要条件(D)无关条件解:若函数在点x0处有极限则与一定都存在。4.设 作出的图像;求与;判别是否存在?解:,,故不存在。5.设,,当时,分别求与的左、右极限,问与是否存在?解:由题意可知,则,,因此。由题意可知,,,因此不存在。*6.用极限的精确定义证明下列极限:(1);(2);(3).证:(1),要

4、使,只要即可.所以,,当时,都有,故.  (2)对于任给的正数ε,要使,只要.所以,,当时,都有不等式成立.故.(3)对于任给的正数ε,要使,只要.所以,,当时,都有不等式成立.故.习题2-31.下列函数在什么情况下为无穷小?在什么情况下为无穷大?(1); (2); (3).解:(1)因为,故时为无穷小,因为,故时为无穷大。(2)因为,故时为无穷小,因为,,故和时都为无穷大。(3)因为,,故和时为无穷小,因为,故时为无穷大。2.求下列函数的极限:(1); (2); (3).解:(1)因为,,且,故得.(2

5、)因为,,且,故得.(3)因为,且,故得.习题2-41.下列运算正确吗?为什么?(1);(2).解:(1)不正确,因为不存在,所以此时极限的四则运算法则失效。正确做法是:因为,且,故得.(2)不正确,因为,不能做分母,所以此时极限的四则运算法则失效。正确做法是:因为,由无穷小与无穷大的关系可知.2.求下列极限:(1);     (2);(3);(4);(5);(6);(7);(8);(9).解:(1);     (2);(3);(4);(5);(6);因为,且,所以(7);(8);(9).3.已知,求解:

6、因为,,所以,,。习题2-51.求下列函数的极限:(1);(2);(3);(4);(5);(6).解:(1);(2);(3);(4);(5);(6).2.求下列函数的极限:(1);(2);(3);(4).解:(1);(2);(3);(4).习题2-61.当时,与相比,哪个是高阶无穷小量?解:因为,所以比高价。2.当时,无穷小量与(1);(2)是否同阶?是否等价?解:因为,所以与是同阶无穷小,因为,故无穷小量与是等价无穷小。3.利用等价无穷小,求下列极限:(1);(2);(3);(4);(5);(6).解:

7、(1);(2);(3);(4);(5);(6).习题2-71.研究下列函数的连续性,并画出图形:(1)(2)(3).解:(1)在区间和是初等函数,因此在区间和是连续函数,因为,所以在点右连续,因为,,且,所以在点连续,综上所述,在区间是连续函数。(2)在区间,和是初等函数,因此在上是连续函数,因为,,且,所以在点连续,因为,,所以在点间断,综上所述,在区间是连续函数,在点间断。(3)由题意知,,当时,,当时,,因此,在区间,和是初等函数,因此在上是连续函数,因为,,所以在点间断,因为,,所以在点间断,综上

8、所述,在上连续,在点间断。2.求下列函数的间断点,并判断其类型.如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义,使其在该点连续:(1);          (2);(3);(4);(5);(6)解:(1)在无定义,因此为函数的间断点,又因为,所以为函数的可去间断点,补充定义,原函数就成为连续函数。          (2)在无定义,因此为函数的间断点,由,可得,由,可得,所以为函数的跳跃间断点。(3)在无定义,因此为函数的间断点,由

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