高等数学习题详解-第2章极限与连续

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1、习题2-11.观察下列数列的变化趋势，写出其极限：(1);(2)；(3)；　(4).解：(1)此数列为所以。(2)所以原数列极限不存在。(3)所以。(4)所以2.下列说法是否正确：(1)收敛数列一定有界;(2)有界数列一定收敛；(3)无界数列一定发散；(4)极限大于0的数列的通项也一定大于0.解：(1)正确。(2)错误例如数列有界，但它不收敛。(3)正确。(4)错误例如数列极限为1，极限大于零，但是小于零。*3.用数列极限的精确定义证明下列极限：(1);(2)；(3)证：(1)对于任给的正数ε，要使，只要即

2、可，所以可取正整数.因此，，，当时，总有，所以.(2)对于任给的正数ε，当时，要使，只要即可，所以可取正整数.因此，，，当时，总有，所以.(3)对于任给的正数ε，要使，只要即可，所以可取正整数.因此，，，当时，总有，所以.习题2-21.利用函数图像，观察变化趋势，写出下列极限：(1);(2)；(3)；　(4);(5);(6)；(7)；　(8)解：(1);(2)；(3)；　(4);(5);(6)；(7)；　(8)2.函数在点x0处有定义，是当时有极限的(　D　)(A)必要条件(B)充分条件(C)充要条件(D)

3、无关条件解：由函数极限的定义可知，研究当的极限时，我们关心的是x无限趋近x0时的变化趋势，而不关心在处有无定义，大小如何。3.与都存在是函数在点x0处有极限的(　A　)(A)必要条件(B)充分条件(C)充要条件(D)无关条件解：若函数在点x0处有极限则与一定都存在。4．设　作出的图像；求与；判别是否存在?解：，，故不存在。5．设,,当时，分别求与的左、右极限，问与是否存在?解：由题意可知，则，，因此。由题意可知，，，因此不存在。*6.用极限的精确定义证明下列极限：(1);(2)；(3).证：(1)，要使，只

4、要即可.所以，,当时，都有，故.　　(2)对于任给的正数ε，要使,只要.所以，,当时，都有不等式成立.故.(3)对于任给的正数ε，要使,只要.所以，,当时，都有不等式成立.故.习题2-31．下列函数在什么情况下为无穷小?在什么情况下为无穷大?(1);　(2);　(3)．解：(1)因为，故时为无穷小，因为，故时为无穷大。(2)因为，故时为无穷小，因为，，故和时都为无穷大。(3)因为，，故和时为无穷小，因为，故时为无穷大。2．求下列函数的极限：(1);　(2);　(3).解：(1)因为，，且，故得.(2)因为，

5、，且，故得.(3)因为，且，故得.习题2-41.下列运算正确吗?为什么?(1);(2).解：(1)不正确，因为不存在，所以此时极限的四则运算法则失效。正确做法是：因为，且，故得.(2)不正确，因为，不能做分母，所以此时极限的四则运算法则失效。正确做法是：因为，由无穷小与无穷大的关系可知.2.求下列极限：(1)；　　　　　（2）；（3）;(4);(5);（6）;(7);(8);(9).解：(1)；　　　　　（2）；（3）;(4);(5);（6）;因为，且，所以(7);(8);(9).3.已知,求解：因为，，所

6、以，，。习题2-51.求下列函数的极限：(1);(2);(3);（4）;(5);(6).解：(1);(2);(3);（4）;(5);(6).2.求下列函数的极限:(1);(2);(3);(4).解：(1);(2);(3);(4).习题2-61.当时，与相比，哪个是高阶无穷小量？解：因为，所以比高价。2.当时，无穷小量与（1）；（2）是否同阶？是否等价？解：因为，所以与是同阶无穷小，因为，故无穷小量与是等价无穷小。3.利用等价无穷小，求下列极限:(1);(2)；（3）；（4）；（5）；（6）.解：(1);(2

7、)；（3）；（4）；（5）；（6）.习题2-71.研究下列函数的连续性，并画出图形：（1）（2）（3）.解：（1）在区间和是初等函数，因此在区间和是连续函数，因为，所以在点右连续，因为，，且，所以在点连续，综上所述，在区间是连续函数。（2）在区间，和是初等函数，因此在上是连续函数，因为，，且，所以在点连续，因为，，所以在点间断，综上所述，在区间是连续函数，在点间断。（3）由题意知，，当时，，当时，，因此，在区间，和是初等函数，因此在上是连续函数，因为，，所以在点间断，因为，，所以在点间断，综上所述，在上连续

8、，在点间断。2.求下列函数的间断点，并判断其类型.如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义，使其在该点连续：(1);　　　　　　　　　　(2);(3)；（4）；(5);(6)解：(1)在无定义，因此为函数的间断点，又因为，所以为函数的可去间断点，补充定义，原函数就成为连续函数。　　　　　　　　　　(2)在无定义，因此为函数的间断点，由，可得，由，可得，所以为函数的跳跃间断点。(3)在无定义，因此为函数的间断点，由