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《高等数学-极限与连续(习题)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第二章极限与连续习题2-11、观察下列数列的变化趋势,判别哪些数列有极限,如有极限,写出它们的极限.(1)；有..(2)；有..(3)；无.(4)；无.(5)；有..(6)；无.(7)；有..(8).无.2、设,,,问(1)(2)应为何值时,才能使与其极限之差的绝对值小于？解：(1)显然,,可见；(2)欲使,只需即可.3、对于数列,,给定(1);(2);(3)时,分别取怎样的,才能使当时,不等式成立,并利用极限定义证明此数列的极限为.解：欲使,只需.(1)若给定,此时,取即可;(2)若给定,此时,取即可;(3)若给定,此时,取即可;下面证明.
2、欲使,只需.,取,当时,恒有,所以.4、用极限定义考查下列结论是否正确,为什么？(1)设数列,当越来越大时,越来越小,则.解：结论错误.例如取,,显然越来越小,但.(2)设数列,当越来越大时,越来越接近于,则.解：结论错误.例如取,,显然越来越接近于,但.(3)设数列,,,当时,有无穷多个满足,则.解：结论错误.例如取,,显然,,那么,,当时,有无穷多个,满足,但显然不存在.(4)设数列,若对,中仅有有限个不满足,则.解：结论正确.,假设仅有不满足,于是取,那么当时,,所以.5、用极限性质判别下列结论是否正确,为什么？(1)若收敛,则(为正整
3、数)；解：结论正确.显然是的子数列,故.(2)有界数列必收敛；解：结论错误.例如取,虽然有界,但显然发散.(3)无界数列必发散；解：结论正确.因收敛数列必有界,那么无界数列必发散.(4)发散数列必无界.解：结论错误.例如取,虽然发散,但显然有界.6、利用数列的“”分析定义证明下列极限：(1)；分析：,欲使,只需或即可.证明：,取,当时,恒有,所以.(2)；分析：,欲使,只需或即可.证明：,取,当时,恒有,所以.(3)；分析：,欲使,只需或即可.证明：,取,当时,恒有,所以.(4).分析：,欲使,只需或即可.证明：,取,当时,恒有,所以.7、若
4、,证明,并举例说明,如果数列有极限,但数列未必有极限.证明：因,有,时,,于是,所以.而若取,显然,但显然没有极限.8、对于数列,若,,,,证明,.证明：因,有,时,,又因,对,时,,取,当时,若,有,,若,有,,总之,当时,,所以,.习题2-21、用极限定义证明：(1)；分析：,欲使,只需即可.证明：,取,当时,恒有,所以.(2)；分析：,欲使,只需即可.证明：,取,当时,恒有,所以.(3).分析：,欲使,只需即可.证明：,取,当时,恒有,所以.2、用极限定义证明：(1)；分析：,欲使,只需即可.证明：,取,当时,恒有,所以.(2).分析：
5、,欲使,只需即可.证明：,取,当时,恒有,所以.3、当时,,问等于多少,则当时,？(提示：因为,所以不妨设).解：欲使,只需即可.因此,取,当时,有.4、设作的图形,并讨论时,的左右极限(利用第1题(3)的结果).解：(1)的图形.(2)令,,已知,,于是,.显然,当时,,于是；当时,,于是.5、证明,当时的极限为零.证明：,取,当时,恒有,所以.6、函数,回答下列问题：(1)函数在处的左右极限是否存在？答：在处的左右极限是均存在.这是因为：；.(2)函数在处是否有极限？答：在处是没有极限.这是因为：.(3)函数在处是否有极限？答：在处有极限
6、.这是因为：；.由于,故.7、证明的充要条件是.证明:“必要性”,时,,从而,当时,；也有,当时,,所以.“充分性”,当时,；当时,,取,当时,有,所以.8、设,证明当充分大时.证明:因,对于,,当时,.所以.习题2-31、根据定义证明：(1)为当时的无穷小；证明：,取,当时,恒有,所以为当时的无穷小.(2)为当时的无穷小.证明：,取,当时,恒有,所以为当时的无穷小.2、根据定义证明：函数为当时的无穷大,问应满足什么条件,能使？(1)分析：,欲使,只需即可.证明：,取,当时,恒有,所以.(2)欲使,取,则满足即可.3、利用有界量乘无穷小依然是
7、无穷小求下列极限：(1).解：因,,有(无穷小),(有界),,则,,所以.(2).解：因,,有(无穷小),(有界),,则,,所以.4、函数在区间内是否有界?又当时,这个函数是否为无穷大?为什么?解：(1)取,则,,可见,函数在区间内无界.(2)取,则,,可见,当时,函数不是无穷大.4’、函数在区间内是否有界?又当时,这个函数是否为无穷大?为什么?解：(1)当时,,可见,函数在区间内有界.(2)因函数在区间内有界,可见,当时,函数不是无穷大.习题2-41、填空题：(1)已知为常数,,则0,6;解：由于,有.而,有.(2)已知为常数,,则1,-1
8、;解：由于,有.而 有.(3)已知为常数,,则2,-2.解：由于,有.而,有2、求下列极限：(1).(2).(3).(4).(5).(6).3、求下列极限：(1
