极限与连续高等数学

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1、第二章极限与连续本章主要向大家介绍以下几方面内容：一、数列的极限三、变量的极限五、极限的运算法则六、两个重要极限七、函数的连续性二、函数的极限四、无穷大量和无穷小量幻灯片86幻灯片72幻灯片67幻灯片802010英语本科群：100370989设函数yn=f(n),其中n为正整数,那么按自变量n增大的顺序排列的一串数f(1),f(2),f(3),,f(n),,称之为数列,记作{yn}或数列yn.……简单地说：数列就是定义在正整数集合上的函数一、数列的极限数列第一张幻灯片------单调减少------单调增加------有界但不单调

2、例前面三个数列当n无限增大时的极限可分别表示为显然，数列yn无限地接近于1，可用数列yn与1之差的绝对值可以任意地小来描述.如果用符号e表示任意小的正数，那么就可用

3、yn-1

4、

5、yn-1

6、

7、ynA

8、N时，点yn都落在点A的e邻域

9、内，而不管e有多么小(如图)，形象一点讲，数列yn会密集在点A的周围.AA-eA+eyN+1yN+2Ox如果把数列yn中每一项都用数轴Ox上一个点来表示，那么数列yn趋向于A可解释为:数列极限的几何意义发散数列：当n→∞时,数列不趋于某个固定常数A，称为发散数列.A∞发散不确定------收敛收敛的数列一定有界返回本章目录函数极限第一张幻灯片对于任意给定的正数，总存一个正数M，当时，恒有成立，则称当时，函数以为极限，记作或当时，的极限yx0(1)∵(2)(3)0xyxy0例作直线y=A+e和y=A-eA+eAA-eNyOx不管它们

10、之间的距离有多么小，当x>N时，曲线y=f(x)一定落在这两条直线之间.的几何意义当x→1时，趋向于什么？当时，函数的极限显然有0xy1f(x)在当x→1时是否有极限与在X=1点处是否有定义无关和定义：如果当x无限接近于x0时，恒有

11、f(x)-A

12、

13、x-x0

14、

15、x-x0

16、

17、f

18、(x)-A

19、

20、有定义(如例2).(2)函数f(x)在x0处虽然有定义，且在x0处有极限，但两者不等，(3)函数f(x)在x0处有定义，也有极限且两者相等.若x→x0(或x→∞)时，函数f(x)的极限存在,则函数f(x)在x0的一个空心小邻域内(或

21、x

22、充分大范围内)有界.定理设变量在变化过程中无限地趋于一个常数A，就称该变量以A为极限，记作三、变量的极限变量y若为具体函数，则不能使用通用记号，必须在极限符号下面要写明所研究的变量的自变量的变化过程.第一张幻灯片①②③④返回本章目录四、无穷小量与无穷大量第一张幻灯片无穷大量如果，则称变量是在该变化

23、过程中的无穷大量，简称无穷大。无穷小量以零为极限的变量称为无穷小量，简称无穷小．即，常用等表示。零是唯一可以作为无穷小量的常数如果变量以A为极限的充分必要条件是变量可以表示为A与无穷小量之和，即定理在相同的变化趋势下有界变量与无穷小量之积仍是无穷小量（常数与无穷小量之积仍是无穷小量）。②两个无穷小量的代数和仍是无穷小量（可推广）。③两个无穷小量之积仍是无穷小量（可推广）定理例为有界函数，证例无穷大量与无穷小量的关系在变量的变化过程中，如果是无穷大量，则是无穷小量；是无穷小量，则是无穷大量。①②无穷小量阶的比较定义：例极限的运算法则

24、定理:在某一变化过程中，若幻灯片1故由无穷小量的定理可推得lim(xy)=AB=limxlimy证(2)因为xy=(Aa)(Bb)=AB(AbBaab)因为Ab,Ba，ab均为无穷小量，所以商的极限运算法则的证明从略.lim(xy