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《函数、极限与连续(高等数学)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、（一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念第一章主要内容函数的定义反函数隐函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数函数的性质奇偶性单调性有界性周期性1、函数的定义▲函数的两要素:定义域与对应法则.自变量因变量对应法则f辨别下列各对函数是否相同,为什么?不同,定义域不同不同,对应关系不同相同,定义域和对应关系都相同▲函数的定义域在实际问题中，函数的定义域由问题的实际意义确定。用解析式表示的函数，其定义域是自变量所能取的使解析式有意义的一切实数，通常要考虑以下几点：(6)如果函数表
2、达式是由几个数学式子组合而成，则其定义域应取各部分定义域的交集。(1)在分式中，分母不能为零；(2)在根式中，负数不能开偶次方根；(3)在对数式中，真数必须大于零；(5)y=arcsinx和y=arccosx中,x∈[-1,1]例：求下列函数的定义域［Ａ］．即所以定义域为(-∞,-4)∪(-4,1)∪(1,+∞)即解得所以定义域为[-1,1)∪(1,+∞)(2)要使函数有意义,必须有且有解:(1)要使函数有意义，必须有分母取其公共部分解所以定义域为(-3,+∞)(4)要使函数有意义,必须有所以定义域
3、为(-1,1)[B].(3)(4)(3)要使函数有意义，必须有解得练习：P923例.设,求下列函数值解:解:解：1）2）3）(1)函数的奇偶性:偶函数奇函数yxo2、函数的性质(2)函数的单调性:设函数f(x)的定义域为D，区间ID，如果对于区间I上任意两点及，当时，恒有：(1),则称函数在区间I上是单调增加的；或(2),则称函数在区间I上是单调递减的；单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。(3)函数的有界性:设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个不为零的数l,使得对于任一,有.且f(x+l)=
4、f(x)恒成立,则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期.（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.(4)函数的周期性:oyx说明：反函数与直接函数之间的关系3、反函数6、基本初等函数1）幂函数2）指数函数3）对数函数4）三角函数5）反三角函数1.幂函数2.指数函数3.对数函数4.三角函数正弦函数余弦函数正切函数余切函数5.反三角函数幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.7、复合函数8、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用
5、一个式子表示的函数,称为初等函数.练习：P1011左右极限两个重要极限求极限的常用方法无穷小的性质极限存在的充要条件判定极限存在的准则无穷小的比较极限的性质数列极限函数极限等价无穷小及其性质唯一性无穷小两者的关系无穷大1、极限左极限右极限函数的极限与左、右极限有如下关系：2.常用来判断分段函数在分段点的极限是否存在例判断函数在点处是否有极限.解:因为所以说明：1.左极限与右极限中只要有一个不存在，或者都存在但不相等，则函数的极限不存在。左右极限存在但不相等,证习题：P183定理(唯一性定理)如果函数
6、在某一变化过程中有极限，则其极限是唯一的．定理(有界性定理)若函数f(x)当x→x0时极限存在，则必存在x0的某一邻域，使得函数f(x)在该邻域内有界．函数极限的性质定理(保号性)推论无穷小:极限为零的变量称为无穷小.绝对值无限增大的变量称为无穷大.无穷大:在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.无穷小与无穷大的关系2、无穷小与无穷大性质3在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.性质1有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论常数与无穷小的乘积是无穷小.性质2有限个无穷小
7、的乘积也是无穷小.无穷小的运算性质一、无穷小量二、无穷小的性质三、极限与无穷小的关系四、无穷大量五、无穷小与无穷大的关系六、小节补充无穷大与无穷小定义若变量Y在某过程下以零为极限，则称变量Y在此过程下为无穷小量，简称无穷小.例1例2时的无穷小量.时的无穷小量.因为所以因为所以一、无穷小量例如函数时的无穷小，但当时不是无穷小。当时，的极限不为零，所以当时，函数不是无穷小，而当时是无穷小量。应该注意无穷小量是在某一过程中，以零为极限的变量，而不是绝对值很小的数。因此应明确指出其变化过程。(4)有界函数与
8、无穷小的乘积仍为无穷小.(3)常量与无穷小的乘积仍为无穷小.(2)有限个无穷小的乘积仍为无穷小.注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.(1)有限个无穷小的代数和仍为无穷小.二、无穷小的性质定理在自变量的同一变化过程中例3解注意这个极限不能用极限的四则运算法则求得，因为不存在.所以时的无穷小量.为有界变量,三、无穷小与函数极限的关系:证必要性充分性定义在自变量x的某一变化过程中,若函数值的绝对值无限增大，则称f(x)为此变化过程中的无穷大量，简称无穷大.记作四、无穷
