高等数学(函数极限连续1)

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1、第一讲函数、极限与连续1一、集合及其运算（自己复习）二、实数的完备性和确界存在定理（去掉，可以不看）实数集R和实数轴上的所有点一一对应设X,Y是两个非空集合,若存在一个对应规则f,使得有唯一确定的与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作y称为x在映射f下的像,记作x称为y在映射f下的原像.集合X称为映射f的定义域;Y的子集称为f的值域.注:元素x的像y是唯一的,但y的原像不一定唯一.1、定义4.三、映射和函数对映射若,则称f为满射;若有则称f为单射;若f既是满射又是单射,则称f为双射或一一映射.定义域定义5.设数集则称映射为定义在D上的函数,记为称为值

2、域.自变量因变量定义域使表达式或实际问题有意义的自变量集合.对实际问题,书写函数时必须写出定义域；基本初等函数：常数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数，反三角函数.非基本初等函数：分段函数等.1、狄利克雷函数例如：x为有理数x为无理数3、符号函数2、取整函数当2.函数的几种特性(1)有界性(2)单调性(3)奇偶性(4)周期性注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数则设有函数链称为由①,②确定的复合函数,①②u称为中间变量.注意:构成复合函数的条件不可少.例如,函数链:可定义复合函数3.复合函数约定:为简单计,书写复合函数时不一定写出其定义

3、域,默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.若函数为单射,则存在一新映射习惯上,的反函数记成称此映射为f的反函数.其反函数(减),(减).1)（反函数存在定理）y＝f(x)严格单调递增且也严格单调递增性质:使其中4.反函数2)函数与其反函数的图形关于直线对称.常数及基本初等函数的函数,经过有限次四则运算和复合运算所构成称为初等函数.5.初等函数1.集合及其运算3.函数及其特性有界性,单调性,奇偶性,周期性,反函数,复合函数.4.初等函数.2.实数的完备性和确界存在定理第二节内容小结如果按照某一法则,对每一对应着一个确定的实数则得到一个序列这一序列

4、称为数列,记为叫做数列的通项数列举例:注：数列可以看作自变量为正整数的函数:四、数列的极限数列的极限观察数列的变化趋势。数列的极限观察数列的变化趋势。数列的极限观察数列的变化趋势。数列的极限观察数列的变化趋势。数列的极限观察数列的变化趋势。数列的极限观察数列的变化趋势。数列的极限观察数列的变化趋势。数列的极限观察数列的变化趋势。数列的极限观察数列的变化趋势。数列的极限观察数列的变化趋势。通过演示实验的观察:当无限增大时，无限接近于数列的极限观察数列的变化趋势。例如数列极限的通俗定义问题:如何用数学语言刻画它？当无限增大时，如果数列的一般项无限接近于常

5、数则称常数是数列的极限或者称记为趋势不定收敛于数列“当无限增大时，无限接近于”数列极限的精确定义如果存在常数对于任意给定总存在正整数使得当时总有成立则称常数是数列的极限或者称数列收敛于记为极限定义的简记形式设为一数列或当时的正数aa-ea+e()当时例1证明：证明：要使只需要于是，当时，即取当时收敛数列的性质定理2.1收敛数列的极限唯一.定理2.2收敛数列一定有界.注：1.有界的数列是否一定收敛?2数列的有界性与收敛如何？则定理2.3设例.求解：由于根据有理运算法则得32例.求解：因为根据有理运算法则得定理2.4收敛数列具有保号性.

6、若且有推论:若数列从某项起推论(保序性)设若使得恒有则定理2.5(夹逼性)设若使得恒有则单调增加单调减少单调数列数列收敛性的判别准则单调递增有上界的数列收敛于其上确界；单调递减有下界的数列收敛于其下确界。注：1如果数列的两个子数列存在极限,但其极限不同,那么原数列的极限是否存在?注：2现在又如何判断数列发散？定理2.7（归并原理）的充要条件是的每个子列都有数列的任一收敛子列的极限称为该数列的极限点，极限点又称聚点。定理2.8（Weierstrass定理---聚点定理）有界数列必有收敛子列。定理2.9（Cauchy收敛原理）数列极限存在的充要条件是

7、:存在正整数N,使当时,有这种数列称为Cauchy列或基本数列。该条件称为Cauchy条件。内容小结1.数列极限的“–N”定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限3.极限存在准则:夹逼准则;单调有界准则;柯西准则39P3910偶数题,11(1)(2)作业五、函数的极限是当它与函数满足下列关系：自变量无限趋大时的函数极限如果存在常数设是任一函数那么称恒有使得定义3.1（时的函数的极限）极限存在或有极限.时的极限,记作或时此时又称当时,函数当的极限可类似的定义.与当时,函数的极限当当当时,有时,有时,有不难证明几何

8、解释:例证明证:故取当时,就有因此定义3.2设函数在点的某去心邻域内有定义,当时,有则称常数A为函数当时的极