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1、习题9－11、利用二重积分的定义，证明（其中为积分区域的面积）．证明：把D分成n个小区域..其中(这个小闭区域的面积也记作).2、根据二重积分的性质，比较下列二重积分的大小：（1），，其中是由轴，轴与直线所围成的三角形闭区域．（2），，其中（3），，其中（4），，其中（5），，其中为以点，，为顶点的三角形闭区域．36解：(1)在区域D中.两边乘以,得.根据二重积分的性质可得:即(2)由于(1,0)在圆周上,且过该点的切线方程为.所以,在D上处处有故在D上有从而有即(3)在D上有得故在D上有即(4
2、)在D上有得故在D上有即(5)在D中有1根据二重积分的性质有>,即>3、根据二重积分的性质，估计下列积分的值36（1），其中，．（2），其中，．（3），其中，．（4），其中，．解：(1)因为在积分域D上,,所以,于是可得,而D的面积为应用估值定理有即(2)因为在积分域D上有,所以,而D的面积为应用估值定理有即(3)由已知有,且D的面积所以,即(4)在积分区域D上有,从而有,且积分区域D的面积,即364、设为平面上有界闭区域，函数，都在上连续，且在上不变号，证明
3、：存在一点，使得．证明：不失一般性,不妨设在有界闭区域D上连续一定存在最大值M,最小值m,使在D上有,从而有根据积分中值定理,有在D中至少存在一点,使36习题9-21、化二重积分为二次积分（在直角坐标系下，写出两种积分次序）（1）由轴，及围成的区域；（2）由轴，及围成的区域；（3）由直线及抛物线围成的区域；解：(1)D:或(2)D:或(3)D:或2、画出下列二重积分的积分区域，并在直角坐标系下计算二重积分．（1），其中是矩形：；（2），其中是由及直线36所围成的区域；（3），其中是由抛物线及直线
4、所围成的闭区域；（4），其中是由直线所围成的闭区域；（5）,其中是由不等式所确定的闭区域；（6），其中是由两条抛物线所围成的闭区域；（7），其中是由直线及所围成的闭区域；（8），其中是顶点分别为和的三角形闭区域；（9），其中是由直线和曲线所围成的闭区域.解(1)D:36D:(3)或D:D:D=D1D2D1：D2：(6)D:(7)D:36(8)D:(9)D:3、交换下列二次积分的次序（1）（2）（3）（4）解（1）D；（2）D:(3)D:(4)D1D236D=D1D2:4、通过交换积分次序计算下列
5、二次积分：（1）（2）（3）解(1)D:(2)D:(3)D:5、化二重积分为极坐标系下的二次积分，其中积分区域为36（1）且（2）（3）解(1)(2)(3)6、将下列累次积分化为极坐标系下的累次积分：（1）（）（2）（3）解(1)D:36(2)D:(3)D:7、利用极坐标计算下列二重积分：（1），其中；（2），其中；（3）,其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；（4），其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；解：(1):D:36(2)D:(3)D:(4)D:8、选择适当的坐
6、标系计算下列二重积分：（1），其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；（2）,其中是由所围成的区域且；（3），其中是由圆周所围成的区域.36解：（1）D：（2）D：（3）D：9、在上连续，在上连续，由围成的矩形区域记为．证明：证明：在上式中，是对求积分，看作常数，因而有由于的值为一常数，可视为C，因而可提到积分号的外面，即3610、证明：(连续).证明：36习题9－31．求由下列曲面围成的立体的体积：（1）和三个坐标面（2）和三个坐标面（3）与（4）解(1)立体在x0y坐标面上的投影区
7、域D:,所以题意中所围成的立体的体积:(2)立体在x0y坐标面上的投影区域:(3)积分区域D:(4)积分区域D:2．求下列曲面的面积：（1）平面在第一卦限中的面积36（2）锥面在柱面内那部分的面积（3）球面含在柱面内部的面积（4）由半球面及旋转抛物面所围成的立体的整个面积解：(1)D:(2)设物体的那部分在第一卦限曲面的面积为,所求面积为S,则由对称性知第一卦限曲面方程为,它在x0y面上的投影区域D:令36上式令上式(3)设物体的那部分在第一卦限曲面的面积为,所求面积为S,则由对称性知第一卦限曲
8、面方程为,它在x0y面上的投影区域D的极坐标为(4)设物体的那部分在第一卦限曲面的面积为,所求面积为S,则由对称性知第一卦限曲面方程为,它在x0y面上的投影区域361．计算下列物质几何形体的质量（1）平面薄片所占的闭区域是由直线和轴所围成．它的面密度，求该薄片的质量．（2）计算由及所围成的平面薄片的质量，其密度．3.(1)D:(2)D:361．计算下列物质几何形体的质心（1）有一个关于轴对称，半径为，圆弧长为的均匀扇形，如图9－32所示，面密度，求该扇形的质心．（2）某平面薄片放置于平面上刚好是
