对称性及常微分方程的精确解

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1、对称性及常微分方程的精确解1根据对称性求解一阶常微分方程如何求解一阶常微分方程（1）的精确解？看起来有些困难。但是，仔细观察，不难发现方程具有如下对称性也就是说对因变量和自变量作这样的变换，微分方程仍然不变我们看如何通过变换变量求解这个方程？将变换写为（2）可以看出，变换就是参数从0改变的结果，可以认为是对从0平移到造成的。可以任意改变不影响这个对称性，我们称方程（1）具有单参数平移变换不变性。你可能有点不耐烦，“那有怎么样，我要的是方程的精确解！”稍安勿躁，这包含变换变量的技巧！如果我将因变量和自变量变

2、为又会怎样？可以预见，方程（1）会变成的形式。这样就可以求解了！为什么？我们看在变换（2）时是不变的，而在变换（2）时有，一般方程（1）会变为（3）的形式，但是别忘了方程（1）具有变换（2）不变性，同样地方程（3）也具有变换（2）不变性。由于和在变换（2）中不变，在变换（2）时方程（3）变为因此上述方程只能不再显含t。回答完毕。我们看一看针对方程（1）具体的表达式果然改变变量后不显含。于是这样就求出方程的精确解。真得感谢对称性。是啊，对称性是个好东西！2寻找微分方程的对称不变解微分方程有没有满足对称性(2

3、)的解？有的，当时就具有（2）所示对称性。事先求解方程能否得到它？可以的。看变换（2）满足的微分方程，如果将（2）看成包含参数的隐函数（不改变），我们知道方程（1）的对称解也满足这个方程，因此，对称解同时满足两个微分方程消去，得到，即，即。3.一般情况我们应该总结一下了：对于微分方程，已经知道它的变换不变性其中我们可以反解出a来，选取变量，这里是任意选定的常数，是任意形式的函数，可以是变换不变的任意表达式。就可以将方程化为的形式，从而求解方程。计算微分方程的变换不变解，可以先计算对称解遵循的常微分方程将这

4、个导数带入原微分方程，就得到得到的隐函数就是微分方程的变换不变解。4根据对称性化简高阶微分方程或微分方程组我们知道，高阶微分方程可以化为一阶微分方程组，比如就可以化为依次类推。我们只将微分方程组的化简。为了方便，我们举例讲解比如微分方程组满足变换的不变性我们选取自变量，选取因变量可以预见原来方程组变为不显含，原因同上面讲的一样，这个方程组，只能由变换不变的量组合起来，即由组合而成，不能显含。将上式相除，可以约掉t，变为使得方程组减少一个变量，化简了方程。具体上述例子果然方程变为不再显含，化简为常微分方程碰

5、巧，这个方程还有对称性，可以完全求解。这里作为读者一个练习题。计算方程的不变解，与微分方程的情况相同。将对称性变为微分方程，上述对称性解也满足这个微分方程，因此同时满足因此，对称解满足4根据对称性化简微分方程组一般情况常微分方程组具有如下单参数变换不变性（单参数李群变换不变性）反求第一个方程得到，上面n+1个方程消去，可以得到n个表达式作新因变量，和新自变量，原来微分方程组变为不显含的方程组也可以化为n-1阶微分方程组求解对称解也作为读者的练习题。