常微分方程的数值解及实验

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1、第4章常微分方程数值解法§1引言§2欧拉法和改进的欧拉法§3龙格库塔法§4阿达姆斯方法§5二阶线性常微分方程边值问题的数值解§1引言在常微分方程中，我们已经掌握了一些典型方程的解法。但许多形式的方程只能用数值方法求近似解，也就是求在某些点上满足一定精度的近似解。现以求一阶常微分方程初值问题(4―1)在区间［a，b］上的解为例，介绍数值方法的基本思想。设f(x，y)在带形区域R：｛a≤x≤b，-∞＜y＜+∞｝上为x，y的连续函数，且对任意的y满足李普希茨(Libusize)条件｜f(x，y1)-f(x，y2)｜≤L｜y1-y2｜(4―2

2、)其中(x，y1)、(x，y2)∈R，L为正常数。在求初值问题(4―1)的数值解时，我们通常采用离散化方法(数值微分、数值积分、泰勒展式等)，求在自变量x的离散点a=x0＜x1＜x2＜…＜xn=b图4.1上的准确解y(x)的近似值y0，y1，y2，…，yn常取离散点x0，x1，x2，…，xn为等距，即xi+1-xi=h，i=0，1，2，…，n-1h称为步长。图41表示为初值问题(4―1)在n+1个离散点上的准确解y(x)的近似值。§2欧拉法和改进的欧拉法2.1欧拉法(折线法)若将函数y(x)在点xi处的导数y′(xi)用差商来表示，即

3、再用yi近似地代替y(xi)，则初值问题(4―1)就化为(4―3)式(4―3)就是所求的欧拉公式。欧拉公式有很明显的几何意义。我们知道初值问题(4―1)中的微分方程的解是xoy平面上的一簇积分曲线，这簇积分曲线上任意点(x，y)?的斜率为f(x，y)，而初值问题(4―1)的解是过点(x0，y0)的一条特定的积分曲线。例1用欧拉法求初值问题的数值解(取h=0.1)。解因为故由欧拉计算公式(4―3)得(4―4)表4―1图4.2图4.32.2改进的欧拉法欧拉法虽然形式简单，计算方便，但比较粗糙，精度也低。特别当y=y(x)?的曲线曲率较大时

4、，欧拉法的效果更差。为了达到较高精度的计算公?式，对欧拉法进行改进，将在一点(xi，yi)的切线斜率f(xi?，yi)用两点的平均斜率来代替，即代入(4―3)式得(4―5)这样得到的点列仍为一折线，只是用平均斜率来代替原来一点处的斜率。式(4―5)称为改进的欧拉公式。不难发现，欧拉公式(4―3)是关于yi+1的显式?，只要已知yi，经一次计算可立即得到yi+1的值;而改进的欧?拉公式(4―5)中的yi+1以隐式给出，且yi+1含在函数f(xi+1，yi+1)中，因此?，通常用迭代法求解。具体做法是：先用欧拉公式(4―3)?求出一个y(

5、0)i+1作为初始近似，然后再用改进的欧拉公式(4―5)进行迭代，即直到满足(ε为预给精度)取再转到下一步计算。这里必须特别说明，因为初值问题(4―1)满足李普希茨条件当h足够小时，可使得于是有当k→∞时，有qk→0，故公式(4―6)收敛。2.3预估校正法改进的欧拉公式在实际计算时要进行多次迭代，因而计算量较大。所谓预估校正法，就是先用(4―3)式算出yi+1的预估值y(p)i+1，然后再用(4―5)式进行一次迭代便得到校正值y(c)i+1，即(4―7)预估：校正：并取虽然式(4―7)仅迭代一次，但因进行了预先估计，故精度却有较大的提

6、高。在实际计算时，还常常将式(4―7)写成下列形式：(4―8)2.4误差估计初值问题(4―1)的等价积分方程为(4―9)若对式(4―9)右端的积分采用各种不同的近似计算方法，就可以得到初值问题(4―1)的各种不同的数值解法。例如积分采用左矩形公式图4.4用yi、yi+1分别代替y(xi)、y(xi+1)便得到欧拉公式(4―3)。若积分采用梯形公式在进行误差分析时，我们假设yi=y(xi)，考虑用yi+1代替y(xi+1)而产生慕囟衔蟛睿康氖俏伺卸吓拉公式和改进的欧拉公式的精确度。设初值问题(4―1)的准确解为y=y(x)，则利用泰

7、勒公式1.欧拉公式的截断误差由式(4―3)知(4―11)比较式(4―10)和(4―11)得(4―12)2.改进的欧拉公式的截断误差由式(4―5)知(4―13)对(4―9)式右端的积分采用梯形公式并根据梯形公式的误差可得到(4―14)其中η∈(xi，xi+1)，比较式(4―13)和(4―14)得(4―15)因此所以，改进的欧拉公式的截断误差为O(h3)，也即改进的欧拉法为二阶的。可以验证，预估校正公式(4―7)与改进的欧拉公式的截断误差相同，均为O(h3)。这里略去证明。例2求解初值问题解现分别用欧拉公式和改进的欧拉公式进行计算。这里欧

8、拉公式的具体形式为其解析解为表4―2§3龙格库塔法3.1泰勒级数展开法我们还是假设yi=y(xi)，利用泰勒级数展开求y(xi+1)。式(4―10)就是y(xi+1)的泰勒展开式，若取右端前有限项作为y(xi+1)的近似