常微分方程的符号解

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1、常微分方程的符号解华东师范大学李志斌参考文献DifferentialEquationsandComputerAlgebraM.F.Singer,editor,AcademicPress,1991.——计算机代数与微分方程会议论文集，意大利，1990.5微分方程与计算机代数一阶常微分方程设为一函数域，对于中给定的函数，一阶常微分方程的解为问题:如何设计算法获得闭形式的解？多项式系数情形设为多项式，考虑一阶常微分方程假设希望求出此方程的多项式解，如何设计算法？多项式系数情形基本思想根据方程本身确定多项式解的次数。将次数确定的多项式解带入方程，利用待定系数方法得到一个线性代数方程组，通过解代数方程

2、组获得原微分方程的多项式解。利用这个算法可以求得多项式解，或证明没有这样的解。有理式系数情形设为有理式，R.H.Risch于1969年提出了一个计算一阶常微分方程有理函数解的算法。其基本思想是：由的分母计算出的分母，进而将问题转化为多项式系数的一阶常微分方程。利用Risch算法可以计算出有理函数解，或证明没有这样的解。有理式系数情形Risch思想当给定后，分别对其分母作无平方因子分解其中两两互素，则可计算未知函数分母因子的重数，使得将的上述形式代入原方程，得两端同乘其中，则可将原方程化作多项式系数的一阶常微分方程。有理式系数情形Risch思想一个简单例子考虑一阶常微分方程此时的分母的无平方因

3、子的分解为一个简单例子设依照算法可计算得于是的分母为.记的分子为,代入原方程得一个简单例子去分母得一个简单例子设应用计算多项式解次数的算法于是为待定常数。一个简单例子代入方程，得线性方程组由此解得于是原方程的解为前者为齐次方程的通解，后者为非齐次方程的特解。练习利用Risch算法可计算常微分方程的通解为程序演示勘误P212L11P212L-3P213L2P213L9，12，17P214L13P216L11P216L13MichaelF.SingerProfessorDepartmentofMathematicsNorthCarolinaStateUniversityRaleigh,NC276

4、95-8205多项式解次数的确定设考虑两种情形1.即故多项式解次数的确定2.即若若则则D2:求的次数,且令D3:若,且为整数,则令D1:令,并设的首项系数为计算多项式解次数算法多项式解次数的确定有理解分母因子重数的确定设为分母中无平方部分的某个不可约因子。于是假定为有理函数，又设也是的分母的因子，期望确定使得可以表示成将的上述形式代入原方程，得注意为无平方因子，它与上式中其余各个部分互素，因此与下式也互素有理解分母因子重数的确定由此可以证明当当当时，时，时，或或其中如下定义有理解分母因子重数的确定M1:令M2:求中的重数和M3:令M4:计算M5:若,且是整数,则令计算有理解分母因子重数算法有

5、理解分母因子重数的确定