资源描述：
《定积分终结版(终》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第五章定积分内容概要名称主要内容微积分基本公式牛顿-莱布尼茨公式：如果是连续函数在区间上的一个原函数，则积分上限函数的导数：定积分换元公式设函数在区间上连续，函数满足条件：（１），且（２）在区间上具有连续导数，则有 运用定积分换元公式时，换元必须变换积分上下限，换元后直接计算得到结果，不必回代原变量．（其中）（其中）分部积分公式公式：（其中）注：当不存在时，请正确使用公式：①求②广义积分无穷限广义积分的计算（）收敛当且仅当都收敛无界函数的广义积分的计算（）①为暇点②为暇点，左收敛当且仅当右两项都收敛对称性应用设在上连续，则（１）当为偶函数，
2、有（２）当为奇函数，有课后习题全解习题5-1★★1.利用定积分的定义计算由抛物线，直线，及横轴所围成的图形的面积知识点：定积分的定义及几何意义思路：根据求定积分的三步骤做解:将分成等分,取为第个小区间的右端点,则显然,于是根据定积分的几何意义,该图形面积★★2.利用定积分的定义计算下列积分：知识点：定积分的定义思路：根据求定积分的三步骤做(1).解:易见函数，从而可积，将分成等分，则于是；取为第个小区间的右端点，则所以(2)解:用分点划分区间：，取是区间右端点，则作和，并取极限得：记，则当时，是型的，由洛必达法则，有从而，当时，有，故★3．
3、利用定积分的几何意义，说明下列等式：(1).知识点：定积分的几何意义思路：定积分的几何意义为被积函数与边界所形成曲边梯形的面积解:等式左边为直线与轴和三条直线所围成的面积，该面积等于等式右边.(2)解:等式左边为正弦曲线与轴在及之间所围成的面积，其左右两边面积互为相反数.则等式右边★★4.用定积分的几何意义求的值.知识点：定积分的几何意义思路：定积分的几何意义为被积函数与边界所形成曲边梯形的面积解:因为是以为圆心，为半径的上半圆，其面积为：由定积分的几何意义知：★★★5.试将和式的极限表示成定积分.知识点：定积分的定义思路：根据定积分的定义
4、推导过程可知,求和的极限公式可表示为定积分解:设，则用定义求解为：①、等分为个小区间：②、求和：取区间上的右端点为，即，作和：③、求极限：∴★★★6.有一河，宽为200米，从一岸到正对岸每隔20米测量一次水深，测得数据如下：m宽020406080100120140160180200m深25911191721151163试用梯形公式求此河横截面面积的近似值.知识点：定积分的几何意义思路：由定积分定义知：求定积分（曲边梯形面积）的第二步：用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，即，若用小梯形面积近似代替小曲边梯形面积则为：。解:积分区间并对该区间作
5、10等分，则区间分点及其对应的函数值恰如表中所示，第段的梯形横截面面积：∴此河横截面面积m习题5-2★1.证明定积分性质:(1).(是常数)知识点：定积分性质思路：利用定义推导定积分的性质证明：设在上可积，对任意的分法与取法，记(2).知识点：定积分的定义证明：因为于是对任意的分法，有★2.估计下列各积分的值:(1)知识点：定积分性质思路：确定被积函数在积分区间上的最大、最小值，从而确定积分值的取值范围解：因为及在区间上单调递增，故，而区间长度，所以即(2)知识点：定积分性质思路：确定被积函数在积分区间上的最大、最小值，从而确定积分值的取值
6、范围解：记，先求出在上的最值，由于所以在上单调增加，因此，即，再由定积分的性质，得：(3)知识点：定积分性质思路：确定被积函数在积分区间上的最大、最小值，从而确定积分值的取值范围解：记，因为所以在单调增加即(4)知识点：定积分性质思路：确定被积函数在积分区间上的最大、最小值，从而确定积分值的取值范围解：令因为当时，所以函数在区间上单调减少，因此区间长度所以(5)知识点：定积分性质解：令因为当时，驻点为所以所以★★3.设及在上,连续,证明:(1)若在上,,且,则在上,;知识点：定积分性质思路：用反证法，通过定积分的估值不等式得到矛盾结论来证明
7、证明：设，但，不妨设，∵在处连续，∴，由极限的保号性：，使当时，有，从而，与条件矛盾！∴，，同理可证：当或时，所以，(2)若在上,,且,则;知识点：定积分性质思路：反证法和(1)的结论来求证证明：因为，所以，而是数值，它仅有零或非零两种可能若设，则由上面已证，在上必有，这与题设矛盾，从而.(3)若在上,,且,则在上,.知识点：定积分性质思路：由定积分性质和(1)结论求证证明：设，则由题设可知：又因为，由(1)得，，从而★★4.根据定积分性质比较下列每组积分的大小:(1)，知识点：定积分性质思路：通过比较被积函数在积分区间内的大小，判定积分值
8、的大小解：当时，，即.(2)，知识点：定积分性质思路：通过比较被积函数在积分区间内的大小，判定积分值的大小解：因为当时，，故.因此：(3)，知识点：定积分性质思路：通过比较被积函
