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《定积分及应用(1)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第六章定积分及其应用习题6-11、利用定积分的定义计算下列定积分：(1)；解：①令,因此,②取为的等分,此时有,,③取,于是,④.(2).解：①令,因此,②取为的等分,此时有,,③取,于是,④.2、利用定积分的几何意义,说明下列等式：(1)；解：因,及围成的三角形的面积为,因此由定积分的几何意义知.(2)；解：因圆形的面积为,那么,及围成的是圆形在第一象限的部分,其面积当然为,因此由定积分的几何意义知.(3)；解：因为奇函数,那么由,,围成的面积为,而由,,围成的面积为,由定积分的几何意义知,两个面积大小相等,符号相反,因此.(4).解：因为偶函数,那么由,,围成的面积为
2、,而由,,围成的面积为,由定积分的几何意义知,两个面积大小相等,符号相同,因此.3、讨论狄利克雷函数在区间上的可积性.解：取为的等分,此时有,,取为中的某个有理数,为中的某个无理数,于是,,由于,,于是在上的不可积.4、用定积分表示下列极限：(1)；解：.其中：①,,②取为的等分,此时有,, ③取,于是, ④.(2)；解：.其中：①,,②取为的等分,此时有,, ③取,于是, ④.习题6-21、估计下列积分的值：(1)；解：,,,,那么,.(2)；解：,,,,,那么,.(3)；解：,,,,那么,,.(4).解：,,,,那么,,.2、比较下列各题中的两个积分的大小：(1),；
3、解：由于,,所以.(2),；解：由于,,所以.(3),；解：由于,,所以.(4),；解：由于,,所以.(5),.解：由于,,所以.3、设及在上连续,证明：(1)若在上,且,则；证明：因在上连续,,且,则,这样,,那么.(2)若在上,且,则在上；证明：由(1)显然.(3)若在上,且,则若在上.证明：由条件知在上,,且,由(2)知在上,即.习题6-31、计算下列各导数：(1)；解：.(2)；解：.(3).解：.2、计算下列各积分：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)；(11)；(12),其中解：.3、求下列极限：(1)；(2)；.4
4、、设,求,.解：显然,于是,.5、求由方程所确定的隐函数的导数.解：方程两端对求导,得,所以.6、求函数的极值.解：令,得,由于当时,,当时,,所以函数有极小值.7、设在上连续,在内可导,且,证明函数在内的二阶导数.题目有误：例如,设,,有,,.习题6-41、计算下列定积分：(1).(2).(3).(4).(5).(6).(7).(8).(9).(10).(11).(12).(13).(14).2、利用奇偶性计算下列定积分：(1).(2).3、证明下列各题：(1),；证明：.(2)；证明：.(3).证明：因,所以.证明：.证明：.习题6-51、计算下列定积分：(1).(2
5、).(3).(4).(5).(6).(7),.(8).(9).(10).(11),,.2、利用递推公式计算：(1)；解：由于,于是.(2).解：.习题6-61、判别下列各广义积分的收敛性,如果收敛计算广义积分的值：(1)；解：由于,,故积分收敛,且.(2)；解：由于,,故积分发散.(3)；解：,积分收敛.(4)；解：由于,有,于是,积分收敛.(5)；解：,积分收敛.(6)；解：,积分收敛.(7)；解：由,知发散,故积分发散.(8)；解：,积分收敛.2、当为何值时,广义积分收敛？当为何值时,这广义积分发散？当为何值时,这广义积分取得最小值？解：(1)当时,,积分发散；(2)
6、当时,,积分发散；(3)当时,,积分收敛,作,令得,当时,,当时,,可见当时,取得最大值,于是当时,积分取得最小值.3、用Г－函数表示下列积分,并计算积分值[已知](1), (为自然数)；(2)；(3).习题6-71、求由下列曲线所围图形的面积：(1),；解：由,得或,.(2),,；解：.(3),；解：由,得或,.(4),(两部分都要计算)；解：由,得或,,.(6)与,；解：.(7),,；解：.(8),,,().解：.2、求由下列各题中的曲线所围图形绕指定轴旋转的旋转体的体积：(1),,绕轴、轴；解：,.(2),绕轴；解：,,,.(3)绕轴；解：,,,.(4)绕().解：
7、,,,,.3、用平面截面积已知的立体体积公式计算下列各题中立体的体积：(1)以半径为的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为的正劈锥体．解:,,.(2)半径为的球体中高为的球缺．解:,,.(3)底面为椭圆的椭圆柱体被通过轴且与底面夹角()的平面所截的劈形立体．解:,.习题6-81、已知边际成本为,固定成本为,求总成本函数.解：因,所以.2、已知边际收益,求收益函数.解：.3、已知边际成本为,求当产量由增加到时,应追加的成本数.解：应追加的成本数为.4、已知边际成本为,边际收益为,求最大利润(设固定成本为0).解：,,于是,
