圆锥曲线几何性质总汇

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1、实用标准文案圆锥曲线的几何性质xyoF11F2AB一、椭圆的几何性质（以+=1（a﹥b﹥0）为例）1、⊿ABF2的周长为4a(定值)证明：由椭圆的定义即2、焦点⊿PF1F2中：xyoF1F22P（1）S⊿PF1F2=（2）（S⊿PF1F2）max=bc（3）当P在短轴上时，∠F1PF2最大证明：（1）在中∵∴∴∴（2）（S⊿PF1F2）max=（3xyoF1F2PM当=0时有最小值即∠F1PF2最大3、过点F1作⊿PF1F2的∠P的外角平分线的垂线，垂足为M，则M的轨迹是x2+y2=a2证明：延长交于，连接精彩文档实用标准文案由已知有

2、为中点∴==所以M的轨迹方程为xyoF1F2P4、以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x2+y2=a2内切证明：取的中点，连接。令圆的直径，半径为∵=∴圆与圆内切∴以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x2+y2=a2内切xyoF1F2PIIIR5、任一焦点⊿PF1F2的内切圆圆心为I，连结PI延长交长轴于R，则∣IR∣：∣IP∣=e证明：证明：连接由三角形内角角平分线性质有∵∴yxoF1F2AB6、以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离。证明：令到准线的距离为以为直径的圆的圆心为到准线的距离为。∵∵∵∴∴以任一焦点弦为直径的圆与相应准线

3、相离精彩文档实用标准文案7、A为椭圆内一定点，P在椭圆上，则：（∣PA∣+∣PF2∣）max=2a+∣AF1∣（∣PA∣+∣PF2∣）min=2a-∣AF1∣xyoF1F2PPA·证明：连接∵∵∴∴（∣PA∣+∣PF2∣）max=2a+∣AF1∣（∣PA∣+∣PF2∣）min=2a-∣AF1∣xyoFA·8、A为椭圆内一定点，P是椭圆上的动点，则（∣PA∣+）min=A到右准线的距离证明：设到右准线的距离d,由椭圆的第二定义有∴（∣PA∣+）min==A到右准线的距离.9、焦点⊿PF1F2的旁心在直线x=±a上。证明：令☉I与⊿PF1

4、F2三边所在的直线相切于M、N、AxyoF1F2PNIIA2IM∵∴∵∴∵∴精彩文档实用标准文案∵∴∴即为椭圆顶点。∴焦点⊿PF1F2的旁心在直线x=±a上10、P是椭圆上任意一点，PF2的延长线交右准线于E，K是准线上另一任意点，连结PK交椭圆于Q，则KF2平分∠EF2QxyoF1F2EKQP证明：令P,Q到准线的距离为由三角形外角平分线性质定理有KF2平分∠EF2QxyoFBA11、证明：令当的斜率存在时，设直线方程为∵∴∴精彩文档实用标准文案=当的斜率存在时，∴xyoFBAP12、AB是椭圆的任意一弦，P是AB中点，则（定值）证

5、明：令，则∵∵，∴∴13、椭圆的短轴端点为B1、B2，P是椭圆上任一点，连结B1P、B2P分别精彩文档实用标准文案交长轴于N、M两点，则有∣OM∣*∣ON∣=a2证明：xyoNMB2PB1∴∵由于、、共线∴∵由于、、N共线∴∴∵∴xyoFNA2PA1M14、椭圆的长轴端点为A1、A2，P是椭圆上任一点，连结A1P、A2P并延长，交一准线于N、M两点，则M、N与对应准线的焦点张角为900证明：令，∴∵由于、、共线∴∵由于共线精彩文档实用标准文案∴∴∵∴∵∴∴M、N与对应准线的焦点张角为900yxoM1F2AB15、过椭圆准线上任一点作椭

6、圆和切线，切点弦AB过该准线对应的焦点。证明：设则的方程为即必过点16、椭圆的光学性质：过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。证明：设，则过点的切线：，直线的法线交轴于直线的法向量为：yxoF1F2Plm∵∴精彩文档实用标准文案同理∵同理∴∴即过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。（1）•F1•F2P二、双曲线的几何性质（均以为例：）（1）焦点三角形面积：•F1•F2PMxy（2）(2)、过作∠F1PF2的内角平行线的重线垂足M的轨迹是精彩文档实用标准文案F1F2Pyx(3)(3)、以焦半径为直径作圆长的焦半径为直径作圆与内切，小

7、的圆与外切。F1F2Ayx(4)B(4)、以焦点为直径作圆与该焦点对应准线相交F1F2Pyx(5)I(5)、焦点⊿PF1F2的内切圆心横生标为±a即与实轴的切点一定是实轴端点精彩文档实用标准文案（6）焦点弦为直径的圆被相应准线截得圆弧所对的圆心角为定值∠MCN＝2arccosF1F2Byx(6)CAMNF1F2Pyx(7)A(7)、A为双曲线内一定点P为双曲线上动点=+＝－2aF1F2Pyx(8)AB(8)、如图：A为双曲线内一定点，P是双曲线上的动点，＋等于A到右准线的距离F1F2Pyx(9)（9）、焦点到渐近线的距离等于bF1F2

8、Pyx(10)AB精彩文档实用标准文案(10)、双曲线上的任上点到两渐近线的距离之积等于定值F1F2Pyx(11)ABO（11）、P是弦AB中点K．K＝定值（12）、P为双线上任一点过P点作两渐近线的平行线与渐近线围成的