圆锥曲线几何性质

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1、竞赛先锋中学数学文摘2006年第2期圆锥曲线的几何性质西安刘康宁一、选择题（）1.我们把离心率等于黄金比的椭圆称之为“黄金椭圆”.设为黄金椭圆，F、A分别是它的左焦点和右端点，B是它的短轴的一个端点，则（）A，B，C，D，2.已知双曲线右焦点为F，右准线为，一直线交双曲线于P，Q两点，交于R点，则（）A，B，C，D，与的大小不确定3.已知点A(0,2)和抛物线上两点B、C，使得，当点B在抛物线上移动时，点C的纵坐标的取值范围是（）A，B，C，D，4.设椭圆方程，为短轴的一个端点，M，N为椭圆上相异两点。若总存在以MN为底边

2、的等腰，则直线MN的斜率的取值范围是（）A，B，C，D，5.已知分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是（）A，B，C，D，6.已知P为抛物线上一点，记P到此抛物线的准线的距离为，P到直线的距离为，则的最小值为（）32竞赛先锋中学数学文摘2006年第2期A，B，C，D，不存在二、填空题（）7.设双曲线的左、右顶点分别为、，P为双曲线右支上一点，且=，则的度数是。xyOF1F2PQl图18.如图1，设椭圆的左、右焦点分别为，左准线为，P为椭圆上一点，于点Q。若四边形为平

3、行四边形，则椭圆离心率的取值范围是。9.圆心在轴上，半径为1的动圆与抛物线相交，交点处的切线互相垂直，动圆的圆心坐标是。10.已知直线与双曲线的两条准线交于A，B两点。若，则。11.设椭圆方程为，PQ是过左焦点F且与轴不垂直的弦。若在左准线上存在点R，使为正三角形，则椭圆离心率的取值范围是。12.设点B、C分别在第四、第一象限，且点B、C都在抛物线上，O为坐标原点，，为直线OC的斜率，则的值为。xyCDPOF1F2BA图2三、解答题（）13．如图2，给定椭圆和圆，CD为圆的任一条直径，CD交椭圆于P点，在CD的一侧，以P为

4、圆心，为半径画弧交圆于点A；在CD的另一侧，以P为圆心，为半径画弧交圆于点B，求证：A、P、B三点共线.32竞赛先锋中学数学文摘2006年第2期14.设抛物线的焦点为F，AB为抛物线的焦点弦，点M在抛物线上，O为坐标原点。求证：（I）直线MA、MF、MB的斜率成等差数列；（II）当时，.ABOPQxyF1F2图315.如图3，A、B为椭圆和双曲线的公共顶点.P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且满足.设直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别是，.(I)求证：；（II）设分别为椭圆和双曲线的右焦点；若，求的值.32竞

5、赛先锋中学数学文摘2006年第2期参考答案：一、1.C由，得，而，知2.B设为双曲线的右准线，作，由三角形相似有.由双曲线定义得，。所以，知FR平分。3.A设、，显然。又且，得.由，消去，得.由，得或。4.A设MN：，代入，得.由，得.又由，得.因为，，所以，将代入，得，代入，得，于是.5.D，当且仅当即时取等号。这时.由，得，即，得.6.B设，则.32竞赛先锋中学数学文摘2006年第2期(1)当或时，.所以当时，.(2)当时，，所以当时，.由（1），（2）知，。二、7..设，则.由，，得=1于是，由，得.8..设，则由，

6、得，即.由，得。解得，即.9.设圆心为，则圆的方程为：.设圆与抛物线的交点为，则。抛物线在点P处的切线方程为。又上述直线与圆在点P处的切线互相垂直，于是直线必过圆心，得。代入，得。解得（舍去正值）。10.将直线与准线联立，求得、。由，得，即，解得。32竞赛先锋中学数学文摘2006年第2期11.设弦PQ的中点为M，过点P、M、Q分别作左准线的垂线，垂足分别为，则。假设存在点R，则，且，有。12.设BC交轴于点A，记，，则。由，知，，于是。点B、C均在抛物线上，得，消去，得，即。三、解答题13.连结AP交圆于点，在圆中，由相交

7、弦定理，在中，由中线长公式，得===。又，有。但以点P为圆心，PB为半径的圆与已知圆在CD一侧的交点是唯一的（两圆的两个交点位于连心线的两侧），故与B重合。因此，A、P、B三点共线。14.(1)设直线MA、MF、MB的斜率分别为，点、、，直线AB：。由，得。于是。又，32竞赛先锋中学数学文摘2006年第2期得，。因此，。又，得。故直线MA、MF、MB的斜率成等差数列。（2）由（1）知。又，得。不妨设，则。同理，，所以，即。故。15.（1）设、，则.所以。①同理可得。②设O为原点，则，。而，得，于是O、P、Q三点共线。所以。

8、由①、②得。32竞赛先锋中学数学文摘2006年第2期（2）由点Q在椭圆上，有。由，得。所以，，从而。③又由点P在双曲线上，有。④由③、④得，。因为，所以，得。有。由①得。同理可得。另一方面，。类似地，。故。（柯正摘自《中学数学教学参考》2006年第1～2期）32