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1、4.2 解析几何--圆锥曲线的概念及性质一、选择题1.(2010·安徽)双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为( )A.B.C.D.(,0)解析:∵原方程可化为-=1,a2=1,b2=,c2=a2+b2=,∴右焦点为.答案:C2.(2010·天津)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1解析:∵渐近线方程是y=x,∴=.①∵双曲线的一个焦点在y2=24x的准线上,∴c=6.②又c2=a2
2、+b2,③由①②③知,a2=9,b2=27,此双曲线方程为-=1.答案:B-16-4.(2010·辽宁)设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为-,那么
3、PF
4、=( )A.4B.8C.8D.16解析:解法一:AF直线方程为:y=-(x-2),当x=-2时,y=4,∴A(-2,4).当y=4时代入y2=8x中,x=6,∴P(6,4),∴
5、PF
6、=
7、PA
8、=6-(-2)=8.故选B.解法二:∵PA⊥l,∴PA∥x轴.又∵∠AFO=60°,∴∠FAP=60°,又由抛物线
9、定义知PA=PF,∴△PAF为等边三角形.又在Rt△AFF′中,FF′=4,∴FA=8,∴PA=8.故选B.答案:B5.高8m和4m的两根旗杆笔直竖在水平地面上,且相距10m,则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析:如图1,假设AB、CD分别为高4m、8m的旗杆,P点为地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点,由于∠BPA=∠DPC,则Rt△ABP∽Rt△CDP,=,从而PC=2PA.在平面APC上,以AC为x轴,AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图2),则A(-5,0),C(
10、5,0),设P(x,y),得=2化简得x2+y2+x+25=0,显然,P点的轨迹为圆.-16-答案:A二、填空题解析:由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则c0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上,则B到该抛物线准线的距离为________.解析:F,则B,∴2p×=1,解得p=.∴B,因此B到该抛物线的准线的距离为+=.答案:8.(2010·北京)已知双曲线-=1的离心率为2,焦
11、点与椭圆+=1的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为________;渐近线方程为________.解析:∵椭圆+=1的焦点为(±4,0),∴双曲线的焦点坐标为(±4,0),∴c=4,=2,c2=a2+b2,∴a=2,b2=12,∴双曲线方程为-=1,∴渐近线方程为y=±x=±x,即x±y=0.答案:(±4,0) x±y=0-16-即xD=,由椭圆的第二定义得
12、FD
13、=e=a-.又由
14、BF
15、=2
16、FD
17、,得a=2a-,整理得a2=3c2,即e2=,解得e=.答案:三、解答题10.已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点
18、的距离分别为和,过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点,求此椭圆的方程.解:解法一:设椭圆的标准方程是+=1(a>b>0)或+=1(a>b>0),两个焦点分别为F1、F2,则由题意,知2a=
19、PF1
20、+
21、PF2
22、=2,∴a=.在方程+=1中,令x=±c,得
23、y
24、=.在方程+=1中,令y=±c,得
25、x
26、=.依题意知=,∴b2=.即椭圆的方程为+=1或+=1.解法二:设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,则
27、PF1
28、=,
29、PF2
30、=.由椭圆的定义,知2a=
31、PF1
32、+
33、PF2
34、=2,即a=.由
35、PF1
36、>
37、PF2
38、知,PF2垂直于长
39、轴.故在Rt△PF2F1中,4c2=
40、PF1
41、2-
42、PF2
43、2=,∴c2=,于是b2=a2-c2=.-16-又所求的椭圆的焦点可以在x轴上,也可以在y轴上,故所求的椭圆方程为+=1或+=1.11.(2010·湖北)已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程;(2)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A、B的任一直线,都有·<0?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)设P(x,y)是曲线C上任意一点,那么点P(x,y)满足
44、-x=1(x>0),化简得y2=4x(x>0).(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).设l的方程为x=ty+m,由得y2-4ty-4m=0,Δ=16(t2+m)>0,于是①又=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),·<0⇔(x1-1)(x2-1