解析几何专题03圆锥曲线的定义、方程及几何性质

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1、解析几何专题03圆锥曲线的定义、方程及几何性质学习目标（1）理解圆锥曲线的定义，并能正确运用圆锥曲线的定义解决一些简单的问题；（2）掌握圆锥曲线的标准方程，并能熟练运用“待定系数法”求圆锥曲线的方程；（3）能根据圆锥曲线的方程研究圆锥曲线的一些几何性质（尤其是焦点、离心率以及双曲线的渐近线等）。知识回顾及应用1．圆锥曲线的定义(1)椭圆(2)双曲线(3)抛物线2．圆锥曲线的方程(1)椭圆的标准方程(2)双曲线的标准方程(3)抛物线的标准方程3．圆锥曲线的几何性质(1)椭圆的几何性质(2)双曲线的几何性质(3

2、)抛物线的几何性质4．应用所学知识解决问题：【题目】已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），并且经过点，求椭圆的方程。答案：【变式1】写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）离心率,焦点在轴上；（2）,焦点在轴上；（3）。答案：（1）；（2）；（3）或。【变式2】写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）,且经过点；（2）经过两点。答案：（1）或；（2）。7问题探究（请先阅读课本，再完成下面例题）【类型一】圆锥曲线的方程求圆锥曲线的方程主要采用“待定系数法”。需要注意的是在求解此类问题时应遵循“

3、先定位，再定量”的原则。注意：当“焦点所在轴不定”时，要有“分类讨论”意识，但也要能根据场合适当地“避免讨论”：如椭圆可设为等。例1．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点，它们在轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．求这三条曲线的方程。解：设抛物线方程为，将代入方程得由题意知椭圆、双曲线的焦点为对于椭圆，对于双曲线，练习：1.在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为。过的直线L交C于两点，且的周长为16，那么的方程为。答案：2.若方程表示焦点在轴上的双曲线，则k

4、Î.3.求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。7答案：或【类型二】圆锥曲线的几何性质根据圆锥曲线的方程研究圆锥曲线的性质的基本程序是：先将方程化为标准方程，再寻找数量关系。特别地，在求圆锥曲线离心率的时候，常常需要列出一个关于的方程，然后消去即可。例2．（1）若双曲线的焦距是6，则。【解析】若，则双曲线的标准方程为，所以，又，所以，；若，则双曲线的标准方程为，所以，又，所以，；综上可知，。（2）设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率等于。【解析】不妨取双曲线的一条渐近线为，代入并整理

5、得由题设知，所以双曲线的离心率为7练习：（1）已知椭圆，求椭圆G的焦点坐标和离心率。【解析】由已知得所以所以椭圆G的焦点坐标为；离心率为（2）在椭圆中,为其左、右焦点，以为直径的圆与椭圆交于四个点，若,恰好为一个正六边形的六个顶点，则椭圆离心率为(C)A.B.C.D.【类型三】圆锥曲线的定义一般地，对于椭圆和双曲线，只要与两个焦点距离有关的问题就应该优先考虑它们的定义；而对于抛物线，利用其定义将抛物线上的点与焦点间的距离和该点到准线的距离进行互化是基本手段，要加强这方面的认识。例3（1）已知定点A(0,7)

6、、B(0，－7)、C(12,2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．解　设F(x，y)为轨迹上的任意一点，∵A、B两点在以C、F为焦点的椭圆上，∴

7、FA

8、＋

9、CA

10、＝2a，

11、FB

12、＋

13、CB

14、＝2a(其中a表示椭圆的长半轴长)，∴

15、FA

16、＋

17、CA

18、＝

19、FB

20、＋

21、CB

22、，∴

23、FA

24、－

25、FB

26、＝

27、CB

28、－

29、CA

30、＝－＝2，7∴

31、FA

32、－

33、FB

34、＝2<14.由双曲线的定义知，F点在以A、B为焦点，2为实轴长的双曲线的下支上，∴点F的轨迹方程是y2－＝1(y≤－1)．（2）点是抛物线上一动点，则

35、点到点的距离与到直线的距离和的最小值是(D)（A）（B）（C）2（D）练习：（1）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－6，0)和C(6,0)，若顶点B在双曲线－＝1的左支上，则＝________．（2）抛物线上一点与该抛物线的焦点的距离，则点的横坐标=3.（3）若椭圆与双曲线均为正数）有共同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则等于检测1．已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P在此椭圆上，则△PF1F2的周长等于（B）A.20B.18C.16D.142．椭圆的焦距等于2，则m的值是

36、（B）A.5或3B.16或14C.5D.1673．已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到y轴的距离为(　B　)A.B.C.D.4.（2013海淀一模）抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，则的最小值是(　B　)A.B.C.D.5．双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，离心率为3，则该双曲线的标准方程为，渐近线方程为6．抛物线的焦点坐标为．7．已知F1、F2是椭圆的两个