欢迎来到天天文库
浏览记录
ID:41125701
大小:210.51 KB
页数:4页
时间:2019-08-17
《圆锥曲线光学性质几何证明法》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、利用反证法证明圆锥曲线的光学性质迤山中学数学组贾浩2014.1.1利用反证法证明圆锥曲线的光学性质反证法又称归谬法,是高中数学证明中常用的一种方法。利用反证法证明问题的思路为:首先在原命题的条件下,假设结论的反面成立,然后推理出明显矛盾的结果,从而说明假设不成立,则原命题得证。在光的折射定律中,从点发出的光经过直线折射后,反射光线的反向延长线经过点关于直线的对称点。下面结合光的折射定律,利用反证法证明圆锥曲线的光学性质。一、椭圆的光学性质从椭圆的一个焦点出发的光线,经过椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点上。该命题证明如下:已知椭
2、圆的两个焦点分别为、,为椭圆上的一个点,过点作椭圆的切线,关于切线的对称点为,证明:、、三点共线。证明假设不在、所在的直线上,连接、,交椭圆于。则,由,得,则又由,得,则。这与上式矛盾。因此,、、三点共线。二、双曲线的光学性质从双曲线的一个焦点出发的光线,经过双曲线反射后,反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点。该命题证明如下:已知双曲线的两个焦点分别为、,为双曲线右支上的一个点,过点作双曲线的切线,关于切线的对称点为,证明:、、三点共线。证明假设不在、所在的直线上,连接、,交椭圆于。则,由得。又由,得,则。这与上式矛盾。因此,、
3、、三点共线。三、抛物线的光学性质从抛物线的焦点出发的光线,经过抛物线反射后,反射光线平行于抛物线的轴。该命题证明如下:已知抛物线焦点分别为,直线为抛物线的准线,为抛物线上的一个点,过点作直线的垂线,垂足为。过点作抛物线的切线,关于切线的对称点为,证明:、、三点共线。证明假设、、三点不共线,由,得。又因为直线,故在直线右侧。过作直线的垂线,交抛物线于点,交直线于,则,由抛物线的定义得,则由在切线右侧得,这与上式矛盾。因此,、、三点共线。在上述的证明过程中,没有利用圆锥曲线的方程,只利用了教材中圆锥曲线的定义,这样就避免了大量的代数计算。
4、借助于反证法,大大的简化了证明的过程。
此文档下载收益归作者所有